ЭМАлгебра

Алгебра

Глава 8. Системы уравнений

8.1. Линейное уравнение с двумя неизвестными

Определение

Уравнение вида $ax+by=c$, где $x$ и $y$ — неизвестные и свободный член $c$ — любые действительные числа, называется линейным уравнением с двумя неизвестными.
$ax+by=c$ — нормальный вид такого уравнения.
Каждая пара значений $x$ и $y$, удовлетворяющая уравнению с двумя неизвестными, называется решением этого уравнения.

Ученик:

А как решается, например, уравнение $3x - 5y = 2$?

Учитель:

Одному из неизвестных можно дать любое значение; тогда получим уравнение с одним неизвестным, из которого найдем значение второго неизвестного. Пусть $y=2$, тогда
$3x-{5\cdot 2}=2$,
$3x = 12$,
$x = 4$.
Если бы неизвестному $x$ дали значение $4$, то нашли бы значение $y=2$. Пара чисел $x=4$ и $y =2$ удовлетворяет данному уравнению — обращает его в верное равенство :
${3\cdot 4}-{5\cdot 2}=2$,
$12-10=2$,
$2 = 2$.
Таких пар чисел существует бесконечно много.

Ученик:

Так сколько решений обычно имеют уравнения с двумя неизвестными?

Учитель:

Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно имеет бесконечное множество решений и поэтому называется неопределенным уравнением.

Ученик:

А может ли быть такое, чтобы такое уравнение вообще не имело корней?

Учитель:

Да, конечно, такое может быть. Например, уравнение $2x+9y=2x+9y+3$. После приведения его к нормальному виду получим:
$2x-2x+9y-9y=3$,
$(2-2)x+(9-9)y=3$,
${0\cdot x}+{0\cdot y}=3$ (или $0=3$) — равенство неверно, т.к. ему не удовлетворяют никакие значения $x$ и $y$.

Если в уравнении первой степени с двумя неизвестными коэффициент при $y$ равен нулю, то получим уравнение с одним неизвестным ($x$). Например,
$5x-{0\cdot y}=7$;
$5x=7$;
$x=1,4$.
Графиком последнего уравнения, а поэтому и двух других равносильных ему уравнений является прямая, параллельная оси ординат.
Итак, графиком уравнения $ax + by = c$, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, является прямая линия. Ее обычно строят по точкам пересечения с осями координат. Если $a=0$ и $b=0$, то возможны два случая:
1) ${0\cdot x}+{0\cdot y}=17$ или $0=17$ — уравнение не имеет ни одного решения и ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости;
2) ${0\cdot x}+{0\cdot y}=0$ или $0=0$ — уравнение имеет бесчисленное множество решений (причем значения $x$ и $y$ здесь даже не зависят друг от друга) и ему удовлетворяют координаты всех точек плоскости.