Алгебра

Глава 8. Системы уравнений

8.4. Способ алгебраического сложения

Ученик:

Можно решать системы уравнений какими-нибудь еще способами, кроме графического и способа подстановки?

Учитель:

Да, есть еще один способ — способ алгебраического сложения.

Ученик:

А что это за способ? Что мы там складывать будем?

Учитель:

Давай, я тебе объясню на примере.

Пример

Решить систему \left\{\begin{array}{c}4x+5y=31\\ 3x-2y=6\end{array}\right.

Решение:
Для решения системы способом алгебраического сложения сделаем так, чтобы коэффициенты при одном неизвестном (например при x) были противоположны (для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на -4).
\left\{\begin{array}{c}12x+5y=93\\ -12x+8y=-24\end{array}\right. (1)
Полученные уравнения будут равносильны данным, а поэтому и полученная система будет равносильна данной. Сложив полученные уравнения, решим уравнение с одним неизвестным.
23y=69 ; y=3 .
Найденное значение неизвестного y подставим в одно из уравнений системы и решим еще одно уравнение с одним неизвестным x.
3x-{2\cdot 3}=6; 3x=12; x=4.

Ответ:

x=4; y=3.

Учитель:

При решении этим способом систему (1) мы заменяли следующими равносильными ей (а поэтому и данной) системами:
(2) \left\{\begin{array}{c}23x=69\\ 3x-2y=6\end{array}\right. (3) \left\{\begin{array}{c}y=3\\ 3x-2y=6\end{array}\right. (4) \left\{\begin{array}{c}y=3\\ x=4\end{array}\right.

Ученик:

Какой способ и когда удобнее применять?

Учитель:

Способ алгебраического сложения выгодно применять тогда, когда коэффициенты при одном из неизвестных противоположны или равны, способ подстановки — когда коэффициент при одном из неизвестных в одном из уравнений равен 1. В остальных случаях применяют любой из двух способов.