Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

Глава 8. Системы уравнений

8.6. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Учитель:

Исследовать систему уравнений — значит определить, имеет ли она решения и, если имеет, то сколько.

Мы уже исследовали систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков (см. п.2 этой главы). Там же было установлено, что в зависимости от количества решений бывают определенные, неопределенные и несовместные системы. Теперь посморим, как зависят эти три случая от коэффициентов.
$\left\{\begin{array}{c}{a_1}x+{b_1}y={c_1},\\ {a_2}x+{b_2}y={c_2}.\end{array}\right.$
В каждом уравнении хотя бы один из коэффициентов при неизвестном не равен нулю (иначе не будет и системы). Для решения системы умножим первое уравнение на ${b_2}$, а второе на $-b_1$ и, сложив их, получим $({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1})x={c_1}{b_2}-{c_2}{b_1}$. Умножив первое уравнение на $-a_2$, а второе на ${a_1}$, и сложив уравнения, получим: $({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1})y={a_1}{c_2}-{a_2}{c_1}$. Два полученных уравнения образуют систему, равносильную данной системе.

Обрати внимание на то, что двучленный коэффициент при $x$ и при $y$ одинаковый. Его называют главным определителем системы, обозначают символом $\Delta$ (дельта).

Его легко составить по данной системе с помощью следующей таблицы: $\Delta=\begin{vmatrix} {a_1} & {b_1} \\ {a_2} & {b_2} \end{vmatrix}={a_1}{b_2}-{a_2}{b_1}$.

Ученик:

Значит, чтобы составить определитель, надо просто выписать коэффициенты при $x$ и при $y$ из нашей исходной системы? Я правильно понимаю?

Учитель:

Молодец, все верно.

Продолжим исследовать систему.
Чтобы из таблицы получить двучлен, надо из произведения коэффициентов (${a_1}$ и ${b_2}$), стоящих по так называемой главной диагонали, вычесть произведение коэффициентов, стоящих по другой диагонали таблицы.
Если ${a_1}$ и ${a_2}$ в первом столбце таблицы главного определителя заменим на ${c_1}$ и ${c_2}$, то получим таблицу первого вспомогательного определителя ${\Delta_x}$:
$\Delta=\begin{vmatrix} {c_1} & {b_1} \\ {c_2} & {b_2} \end{vmatrix}={c_1}{b_2}-{c_2}{b_1}$.
Аналогично получим второй вспомогательный определитель системы:
$\Delta=\begin{vmatrix} {a_1} & {c_1} \\ {a_2} & {c_2} \end{vmatrix}={a_1}{c_2}-{a_2}{c_1}$.
Теперь полученная система, которая дает нам решение данной вначале системы, записывается очень кратко, легко запоминается и дает готовые формулы для решения системы:
${\Delta\cdot x}={\Delta_x}$ и ${\Delta\cdot y}={\Delta_y}$.

Ученик:

А для чего мы вообще находим эти $\Delta$? Что нам это дает?

Учитель:

Так мы можем определить к какому типу относится система.
Мы получаем три случая:
а) если главный определитель системы ${a_1}{b_2}-{a_2}{b_1}=\Delta$ не равен нулю, то система определенная, т.е. имеет единственное решение:
$x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$ и $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$;
б) если $\Delta={a_1}{b_2}-{a_2}{b_1}=0$, то наша система принимает вид: ${0\cdot x}={\Delta_x}$ и ${0\cdot y}={\Delta_y}$ и теперь все зависит от вспомогательных определителей ${\Delta_x}$ и ${\Delta_y}$.
Если при $\Delta=0$ хотя бы один из определителей ${\Delta_x}$ и ${\Delta_y}$ не равен нулю, то решения нет и система несовместна (левые части ${0\cdot x}$ и ${0\cdot y}$ равны нулю, а правая часть не равна нулю, что невозможно);
в) если $\Delta=0$ и ${\Delta_x}={\Delta_y}=0$, то система принимает вид: ${0\cdot x}=0$ и ${0\cdot y}=0$, имеет бесконечное множество решений и является неопределенной. Одному из неизвестных можно дать любое значение, подставить его в одно из уравнений системы и вычислить соответствующее значение другого неизвестного.