Алгебра

Глава 8. Системы уравнений

8.8. Решение системы, содержащей уравнение второй степени и линейное уравнение

Ученик:

Как можно решить такую систему?

Учитель:

Такую систему двух уравнение всегда можно решить способом подстановки. Для этого выражаем одно неизвестное через другое из уравнений первой степени и подставляем полученное выражение в уравнение второй степени. Приходим к квадратному уравнению, которое, если оно имеет действительные корни, дает два значения одного неизвестного - разные или равные. Подставив каждое из этих значений, находим два соответствующих значения другого неизвестного. Получаем два решения такой системы - две пары значений неизвестных. Каждое из решений проверяется подстановкой в оба уравнения данной системы.

Ученик:

Нужен пример, чтобы лучше разобраться.

Учитель:

Хорошо.

Пример

Решить систему \left\{\begin{array}{c}x^2+y=10\\ x+y=4\end{array}\right..

Решение:
Выразим y из второго уравнения системы: y=4-x. Подставим это выражение во второе уравнение системы. Получим x^2+4-x=10.
Решим теперь полученное квадратное уравнение: x^2-x-6=0; x=\frac{{1\pm\sqrt{1-4(-6)}}}{{2}}=\frac{{1\pm sqrt{25}}}{{2}}=\frac{{1\pm 5}}{{2}}; {x_1}=3; {x_2}=-2. Подставим полученные значения x в выражение y=4-x. Получим {y_1}=4-3=1; {y_2}=4+2=6.

Рис.1

Ответ:

1) {x_1}=3, {y_1}=1; 2) {x_2}=-2, {y_2}=6.

Учитель:

Если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то и система не имеет действительного решения. Если дискриминант больше нуля, то система имеет два различных решения, а если равен нулю, то два одинаковых решения.

Ученик:

А другие методы применять можно?

Учитель:

Да, конечно. Иногда выгодно применять способ алгебраического сложения. Так, если в рассмотренном примере вычесть из первого уравнения второе, то получим то же самое квадратное уравнение.