Алгебра

Глава 8. Системы уравнений

8.9. Графический и другие приемы решения систем уравнений второй степени

Учитель:

В основе графического решения системы двух уравнений с двумя неизвестными второй степени лежит тот же прием, которым мы уже пользовались при графическом решении систем уравнений первой степени. Надо построить график каждого уравнения системы и по чертежу найти (приближенно) координаты общих точек обоих графиков - это и будут решения системы уравнений. Сколько общих точек у графиков, столько и действительных решений у системы. Графиком уравнения второй степени с двумя неизвестными обычно будет кривая линия, например парабола, гипербола, окружность, эллипс. Напомню, что графиком уравнения первой степени с двумя неизвестными является прямая.
Построим графики уравнений следующих систем:

\left\{\begin{array}{c}x^2+y=10\\ x+y=4\end{array}\right.;

Рис.1

\left\{\begin{array}{c}x^2+y=10\\ x+y=10,25\end{array}\right.;

Рис.2

\left\{\begin{array}{c}x^2+y=10\\ x+y=13\end{array}\right.;

Рис.3

Ученик:

Так как в графиках первой системы уравнений две точки пересечения, значит она имеет два решения. Графики уравнений второй системы имеют одну общую точку, значит одно решение. А у графиков уравнений третий системы общих точек вообще нету, значит она решений не имеет. Все правильно?

Учитель:

Абсолютно верно. А теперь рассмотрим еще один прием решения систем второй степени. Так для решения системы \left\{\begin{array}{c}x^2+y^2=82\\ xy=89\end{array}\right. второе уравнение умножим на 2 и полученное уравнение 2xy=-18 прибавим к первому и вычтем из него. Получим:\left\{\begin{array}{c}x^2+2xy+y^2=64\\ x^2-2xy+y^2=100\end{array}\right. или \left\{\begin{array}{c}(x+y)^2=64\\ (x-y)^2=100\end{array}\right..
После извлечения алгебраического квадратного корня получим систему \left\{\begin{array}{c}x+y=\pm 8\\ x-y=\pm 10\end{array}\right., которая содержит в себе четыре системы первой степени:
\left\{\begin{array}{c}x+y=8\\ x-y=10\end{array}\right. (1)

\left\{\begin{array}{c}x+y=8\\ x-y=-10\end{array}\right. (2)

\left\{\begin{array}{c}x+y=-8\\ x-y=10\end{array}\right. (3)

\left\{\begin{array}{c}x+y=-8\\ x-y=-10\end{array}\right. (4)

Решение каждой из этих систем является решением данной системы второй степени.

Систему, у которой оба уравнения второй степени, также можно решить графически.