Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

Глава 9. Неравенства

9.2. Доказательство неравенств

Ученик

Интересно, чтобы получить неравенство, можно написать любое выражение, содержащее буквы, и соединить его знаками $\gt$ или $\lt$?

Учитель

Несовсем так. Давай введём понятие допустимых значений букв, чтобы уметь правильно составлять неравенства.

Определение

Допустимыми значениями букв, входящих в неравенство, называются такие числовые значения этих букв, при которых обе части неравенства имеют смысл.

Учитель

В неравенстве $\sqrt{a}>a$ допустимыми значениями будут $a > 0$(корень арифметический); в неравенстве $\frac{1}{c} > c$ допустимые значения $c$ не равные нулю;
в неравенстве $b - 1 < b$ допустимыми значениями для $b$ будут все действительные числа.

Определение

Неравенство, которому удовлетворяют все допустимые значения входящих в него букв, называется тождественным неравенством.

Учитель

$b - 1 < b$ $(a-b)^2 \ge 0$ — тождественное неравенство.
Неравенство $\frac{1}{c} > c$ не является тождественным, так как все значения $c > 1$ входят в область допустимых значений (ОДЗ) этого неравенства, но не удовлетворяют ему.

Ученик

Понятно, а для чего нам так необходимо знать эти допустимые значения букв в неравенствах?

Учитель

Таким образом мы учимся доказывать неравенства. Другими словами, мы пытаемся убедиться в том, что знаки $>$ или стоят в выражении не просто так. Мы показываем, что выражение имеет смысл.
Доказать неравенство, содержащее буквы, — значит показать, что ему удовлетворяют любые допустимые (или специально указанные) значения этих букв.
Общего способа доказательства неравенств (как и равенств) не существует. При доказательстве неравенств используем их свойства, причем можно начинать с какого-нибудь простого верного неравенства, из которого можно получить доказываемое неравенство.
Можно применять и другие приемы.

Пример

Доказать неравенство $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Доказательство.
Рассмотрим разность:$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}$так как $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$, то $\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \ge 0$ и $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \ge 0$ а по определению неравенства (см. п. 1) это означает, что $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$, что и требовалось доказать. Равенство имеет место при $a = b$.