Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

Глава 9. Неравенства

9.1. Основные понятия

Учитель

Если разность $a - b$ положительна, тогда $a \gt b$.

Ученик

Значит если $a \gt b$, то разность $a - b$ положительна?

Учитель

Совершенно верно! То же самое можно заметить и в случае, когда разность $a - b$ отрицательна. Тогда $a \lt b$. И обратно: если $a \lt b$, то разность $a - b$ отрицательна.
Под буквами в неравенствах понимают действительные числа или некоторые выражения, принимающие действительные числовые значения.

Ученик

Значит неравенство, содержащее буквы (переменные), можно рассматривать как две функции, соединенные знаком $\gt$ или $\lt$ ?

Учитель

Да, именно так!

Определение

Неравенства, содержащие один и тот же знак $\gt$ или $\lt$, называются неравенствами одинакового смысла. Два неравенства называются неравенствами противоположного смысла, если в одном из них знак $\gt$, а в другом знак $\lt$.

Учитель

Докажем теоремы, выражающие основные свойства неравенств.

Теорема (основные свойства неравенств)

1) Если $a \gt b$, то $b \lt a$, и наоборот: если $a \lt b$, то $a \gt b$.

Доказательство.

По условию $a > b$, значит $a - b$ положительно (по определению). Тогда $b - a$ отрицательно и поэтому $b < a$ .

2) Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Доказательство.

Так как $a > b$, то $a - b > 0$, из $b > c$ получаем $b - c > 0$. Сумма положительных чисел есть число положительное, поэтому $(a - b) + (b - c) > 0$, откуда $a - c > 0$ и $a > c$.

3) Если $a > b$, то $a + c > b + c$.

Доказательство.

В тождестве $a - b = (a + c) - (b + c)$ левая часть положительна, так как по условию $a > b$, значит, разность в правой части положительна: $(a + c) - (b + c) > 0$, поэтому по определению $a + c > b + c$.
Так как $c$ — любое действительное число, то по доказанному из $a > b$ следует $a + (-c) > b + (-c)$ или $a - c > b - c$, т.е. неравенство не нарушится, если к обеим частям прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число.
Это свойство дает возможность переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, изменив их знак на противоположный.

4) Пусть $a > b$. Если $c > 0$, то $ac > bc$; если $c < 0$, то $ac < bc$.

Доказательство.

Из $a > b$ следует $a - b > 0$. Но и $c > 0$ . Тогда и произведение их положительно: $(a - b)c >0$ или $ac - bc > 0$, поэтому $ac > bc$ (по определению).
При $a > b$ и $c < 0$ имеем: $a - b > 0$, но $c < 0$, поэтому $(a - b)c < 0$ или $ac - bc < 0$ и $ac < bc$.
Так как $c$ не равно нулю, то по доказанному можно умножить на число $\frac{1}{c}$, которое будет больше или меньше нуля. Но это значит, что доказана и возможность деления частей неравенства на <$c$.
Обе части неравенства можно умножить или обе разделить на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства, или на отрицательное, число, изменяя знак неравенства на противоположный.

5) Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Доказательство.

В тождестве $(a - b) + (c - d) = (a + c)- (b + d)$ левая часть положительна (как сумма двух положительных разностей). Поэтому $(a + c)- (b + d) > 0$ и отсюда $a + c > b + d$.
Аналогично для случая $a < b$ и $c < d$ получим $a + c < b + d$.
Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.

6) Если $a > b$ и $c < d$, то $a - c > b - d$.

Доказательство.

По условию $c < d$, тогда $-c > -d$ (по свойству 4 умножили на $-1$). На основании свойства 5 сложим $a > b$ и $-c > -d$; получаем: $a - c > b - d$. Два неравенства противоположного смысла можно почленно вычесть, оставляя знак того неравенства, из которого вычитаем.

7) Если $a > b$, $c > d$, $a$, $b$, $c$, $d$ — положительны, то $ac > bd$.

Доказательство.

Первое равенство умножив на $c$, а второе на $b$, получаем: $ac > bc$, $bc > bd$, отсюда по свойству 2 имеем: $ac > bd$.
Аналогично для случая $a < b$, $c < d$ получим: $ac < bd$.
Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно перемножать.

8) Если $a > b$, $a > 0$, $b > 0$, то для любого натурального числа $n$ $a^{n} > b^{n}$.

Доказательство.

$a > b$ умножим на $a > b$, затем $a^{2} > b^{2}$ и т.д.

9) Если $a > b > 0$, то $a^{\frac{1}{n}} > b^{\frac{1}{n}}$, где натуральное число $n > 2$ и корни арифметические.

Доказательство.

Для доказательства нужно показать, что случаи $a^{\frac{1}{n}} = b^{\frac{1}{n}}$ и $a^{\frac{1}{n}} < b^{\frac{1}{n}}$ не подходят и остается $a^{\frac{1}{n}} > b^{\frac{1}{n}}$.
Свойства справедливы также и для нестрогих неравенств.