Алгебра

Глава 9. Неравенства

9.2. Доказательство неравенств

Ученик

Интересно, чтобы получить неравенство, можно написать любое выражение, содержащее буквы, и соединить его знаками \gt или \lt?

Учитель

Несовсем так. Давай введём понятие допустимых значений букв, чтобы уметь правильно составлять неравенства.

Определение

Допустимыми значениями букв, входящих в неравенство, называются такие числовые значения этих букв, при которых обе части неравенства имеют смысл.

Учитель

В неравенстве \sqrt{a}>a допустимыми значениями будут a > 0(корень арифметический); в неравенстве \frac{1}{c} > c допустимые значения c не равные нулю;
в неравенстве b - 1 < b допустимыми значениями для b будут все действительные числа.

Определение

Неравенство, которому удовлетворяют все допустимые значения входящих в него букв, называется тождественным неравенством.

Учитель

b - 1 < b (a-b)^2 \ge 0 — тождественное неравенство.
Неравенство \frac{1}{c} > c не является тождественным, так как все значения c > 1 входят в область допустимых значений (ОДЗ) этого неравенства, но не удовлетворяют ему.

Ученик

Понятно, а для чего нам так необходимо знать эти допустимые значения букв в неравенствах?

Учитель

Таким образом мы учимся доказывать неравенства. Другими словами, мы пытаемся убедиться в том, что знаки > или стоят в выражении не просто так. Мы показываем, что выражение имеет смысл.
Доказать неравенство, содержащее буквы, — значит показать, что ему удовлетворяют любые допустимые (или специально указанные) значения этих букв.
Общего способа доказательства неравенств (как и равенств) не существует. При доказательстве неравенств используем их свойства, причем можно начинать с какого-нибудь простого верного неравенства, из которого можно получить доказываемое неравенство.
Можно применять и другие приемы.

Пример

Доказать неравенство \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}, где a > 0 и b > 0.

Доказательство.
Рассмотрим разность:\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}так как (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0, то \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \ge 0 и \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \ge 0 а по определению неравенства (см. п. 1) это означает, что \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}, что и требовалось доказать. Равенство имеет место при a = b.