Алгебра

Глава 9. Неравенства

9.3. Неравенства с неизвестным. Равносильность неравенств

Неравенство может содержать переменные величины, которые называются неизвестными. Рассмотрим неравенства с одним неизвестным, представляющие две функции одной и той же переменной, соединенные одним из знаков неравенства (например, x^2 \le x+5).

Определение.

Решением неравенства называется всякое действительное значение неизвестного, при котором неравенство справедливо.

Решить неравенство — значит найти множество всех его решений. Это множество может оказаться пустым, т. е. существуют неравенства, которые не имеют решений, например, x^2 < 0; \sin x > 1 и др.

Определение.

Два неравенства, содержащие одно и то же неизвестное, называются равносильными (эквивалентными), если все решения одного из них являются решениями другого, и наоборот (т. е. у них одно и то же множество всех решений).

Аналогично свойствам равносильных уравнений существуют следующие теоремы о равносильных неравенствах.

Теоремы (о равносильных неравенствах)

1) Если к обеим частям неравенства, содержащего неизвестное, прибавить один и тот же многочлен от этого неизвестного (в частности — число), то получим новое неравенство, равносильное данному.

Отсюда следует, что члены неравенства можно переносить с противоположным знаком из одной части неравенства в другую.

2) Если обе части неравенства с неизвестным умножить или разделить на одно и то же положительное число, то полученное неравенство того же смысла равносильно данному.
3) Если обе части неравенства с неизвестным умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом переменить знак неравенства, то получим неравенство противоположного смысла, равносильное данному.

Из теорем 2 и 3 следует, что неравенство с дробными коэффициентами можно преобразовать в равносильное неравенство с целыми коэффициентами. Неравенство можно сократить на общий множитель всех его членов, не содержащий неизвестного. Если этот множитель отрицательный, то смысл неравенства следует изменить на противоположный. Нельзя умножать или делить члены неравенства на выражение, если неизвестно, каким числом — положительным или отрицательным — оно является.