Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

Глава 9. Неравенства

9.4. Решение линейного неравенства с одним неизвестным

Определение

Неравенство, содержащее только линейные функции от неизвестного, называется линейным неравенством с одним неизвестным.

Любое такое неравенство можно привести к виду $ax + b > 0$.

В решении его возможны следующие случаи:

1) если $a > 0$, то $x > - \frac{b}{a}$;

2) если $a < 0$, то $x < - \frac{b}{a}$;

3) если $a = 0$ и $b > 0$, то неравенство справедливо при любом действительном значении $x$;
4) если $a = 0$ и $b < 0$, то неравенство решений не имеет.

Пример

Решить неравенство $\frac{x-1}{3}- \frac{x+2}{4} > \frac{x-2}{12}-\frac{x}{3}$.

Решение.
Умножаем обе части неравенства на 12.
$4x - 4 - 3x - 6 > x - 2 - 4x$.
Перенесем члены с неизвестным в левую часть, а известные в правую.
$4x - 3x - x + 4x > -2 + 4 + 6$.
Приведя подобные члены, получим: $4x > 8$ или $x > 2$.

Ответ :

$x > 2$.

Все неравенства, полученные в процессе решения, в том числе неравенство $x > 2$, равносильны данному в условии неравенству, поэтому его решением и будут все значения $x$, большие двух. На числовой оси эти значения изображаются всеми точками, лежащими справа от точки $x = 2$ .