Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

Глава 9. Неравенства

9.5. Решение системы линейных неравенств с одним неизвестным

Определение

Несколько неравенств с одним неизвестным, обозначающим одну и ту же величину, называют системой неравенств с одним неизвестным.

Решить систему неравенств — значит найти множество всех значений неизвестного, при которых выполняется (справедливо) каждое неравенство системы. Для этого находят множество решений каждого неравенства системы в отдельности, а затем находят общую часть всех полученных множеств, т. е. все те числа, которые входят в каждое из этих множеств.

Решение любой системы двух линейных неравенств с одним неизвестным приводит к одной из следующих простейших систем (пусть $a < b$):
а)$\left\{\begin{aligned}x\gt a,\atop x\gt b\end{aligned}\right.$ . Решение: $x>b$.

б) $\left\{ \begin{aligned}x \lt a, \atop x\lt b \end{aligned}\right.$. Решение: $x$ .

в) $\left\{ \begin{aligned}x\gt a,\atop x\lt b\end{aligned}\right.$. Решение: $a < x < b$ .

г) $\left\{\begin{aligned} x\lt a, \atop x\gt b\end{aligned}\right.$. Решения нет (нет таких чисел $x$, которые были бы одновременно меньше меньшего числа $a$ и больше большего из двух данных чисел $b$.

Заучивать эти случаи нет надобности, их нужно хорошо понять и каждый раз можно воспользоваться умением изобразить решения неравенств на числовой оси, чтобы получить решение системы.

Пример

При каком значении $x$ дробь $\frac{2x-3}{3x-5}$ положительна?

Решение:
Чтобы дробь была положительной, необходимо и достаточно, чтобы числитель и знаменатель были одного знака. Поэтому задача сводится к решению двух систем неравенств.

Ответ:

$x < 1,5$ и $x>1\frac{2}{3}$.

Примечание.
При решении таких примеров нередко допускают следующие грубые ошибки: 1) Решив каждую систему (а) и (б) отдельно, из их решений образуют новую, третью систему, решают ее, считая, что ее решение и будет искомым ответом. Но это бессмысленный шаг, говорящий о непонимании сути дела. Ведь (а) и (б) совершенно самостоятельные системы и решение каждой из них (если оно существует) является самостоятельным решением (ответом) для данного в условии примера. Попытка же решить еще третью систему означает объединение самостоятельных систем (а) и (б) в одну систему из четырех неравенств, где пришлось бы найти такие значения $x$, при которых, например, $2x - 3$ одновременно и положительно и отрицательно, что невозможно.
2) Иногда неправильно понимают смысл двойного неравенства и составляют его тогда, когда оно невозможно. Например, в решенном примере записать ответ так: $1\frac{2}{3} < x < 1,5$ будет неправильно, потому что ни одного такого числа $x$, которое было бы больше большего числа $1\frac{2}{3}$ и в то же время меньше меньшего числа $1,5$ быть не может. Здесь ответ состоит из двух частей: одни значения $x>1\frac{2}{3}$ и совсем другие значения $x < 1,5$. Объединять в двойное неравенство можно лишь тогда, когда в одном и в другом неравенстве имеются в виду одни и те же значения $x$, заключенные между двумя данными числами .