Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

Глава 9. Неравенства

9.6. Решение квадратных неравенств

Определение

Неравенство вида (и приводимое к этому виду): $ax^2+bx+c>0$ или $ax^2+bx+c$, содержащее квадратную функцию от неизвестного, называется квадратным неравенством (или неравенством второй степени с одним неизвестным).

Любое квадратное неравенство можно свести к виду $ax^2+bx+c>0$, $a \neq 0$.

Рассмотрим решение этого неравенства с помощью графика квадратной функции $ax^2+bx+c$, которую обозначим через $y$. Решение сведется к нахождению тех значений $x$, при которых функция $y$ положительна, т.е. парабола (или часть ее) расположена выше оси абсцисс. Возьмем различные значения дискриминанта .

1. $D=b^2-4ac$ корни многочлена $ax^2+bx+c$ мнимые, парабола не имеет общих точек с осью $Ox$ и вся она расположена:
а) выше этой оси при $a > 0$ и решениями неравенства будут все действительные значения $x$;

б) ниже этой оси при $a < 0$ и неравенство не имеет решений (при всех $xy < 0$, а нужно $y > 0$;).

2. $D = 0$, корни действительные равные, парабола касается оси $Ox$ при значении корня $x=-\frac{b}{2a}$, а все остальные точки параболы лежат:

а) выше оси $Ox$ при $a > 0$ и решениями неравенства будут все значения $x$ кроме $x=-\frac{b}{2a}$;

б) ниже оси $Ox$ при $a < 0$ и неравенство не имеет решений (при $x=-\frac{b}{2a}$, $y = 0$, а при всех остальных значениях $x y < 0$;).

3. $D > 0$, корни действительные и разные (пусть $x_1\lt x_2$), парабола пересекает ось $Ox$ при значениях $x=x_{1}$ и $x=x_{2}$ поэтому:

а) если $a > 0$, то выше оси $Ox$ расположены части параболы, соответствующие значениям $x\lt x_{1}$ и $x>x_{2}$, которые и дают решения неравенства;

б) если $a < 0$, то выше оси $Ox$ расположена часть параболы, соответствующая значениям $x_{1}\lt x\lt x_{2}$, которые и являются решениями неравенства.

Замечание
Полезно посмотреть

Схема решения квадратного неравенства такова:

1) Приводим неравенство к нормальной форме (раскрываем скобки; освобождаемся от знаменателей, если знаки их известны; переносим все члены в левую часть; приводим подобные члены).
2) Вычисляем дискриминант $D$ квадратного многочлена, стоящего в левой части неравенства, и действительные корни многочлена (при $D\ge 0$ ) .
3) Если знак неравенства будет $<$, то умножаем обе части его на $-1$ и меняем знак на $>$. Дискриминант и корни от этого не изменятся.
4) Учитывая знак коэффициента $a$ и значения действительных корней (если они есть), записываем решение квадратного неравенства.

Пример

Решить неравенство, содержащее неизвестное под знаком абсолютной величины: $|x^2-2x|$.

Решение:
Согласно правилу раскрытия знака абсолютной величины в неравенствах получаем двойное неравенство $-3\lt x^2-2x\lt 3$, равносильное данному неравенству. Двойное неравенство есть не что иное как равносильная ему система двух неравенств
$\left \{\begin{aligned} x^2-2x\lt 3,\atop x^2-2x\gt-3.\end{aligned}\right.$
Решим каждое квадратное неравенство отдельно, приведя его к нормальной форме: $x^2-2x\lt 3; x^2-2x-3\lt 0$. Согласно схеме решения продолжаем: $D=(-2)^2-4(-3)=4+12=16\gt 0$. Вычисляем корни по формуле: $x_{1}=3$, $x_{2}=-1$. Умножив на $-1$, получим: $-x^2+2x+3\gt 0$.
Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому решением неравенства $-x^2+2x+3>0$ будет $-1 < x < 3$.
Решаем второе неравенство
$x^2-2x>-3$ или $x^2-2x+3>0$.
$D=(-2)^2-4(3)=4-12=-8$.
Так как $a = 1 > 0$, решением второго неравенства будут все действительные значения $x$.
В таком случае решением системы двух неравенств будет решение первого неравенства, т.е. $-1 < x < 3$.

Ответ :

$-1 < x < 3$ (т. е. данное неравенство $|x^2-2x|$ справедливо при всех значениях $x$, заключенных между $-1$ и $3$.