Теоретический материал: Решение иррациональных неравенств и уравнений

Алгебра

Глава 9. Неравенства

9.7. Решение иррациональных неравенств и уравнений

Определение

Неравенства и уравнения называются иррациональным, если они содержат неизвестное под знаком радикала, причем каждый радикал четной степени принимает арифметическое, а радикал нечетной степени — единственное его действительное значение.

Иррациональные уравнения и неравенства рассматриваются на множестве действительных чисел и при решении находятся их действительные корни (решения).

Пример 1.

Решить иррациональное неравенство $\sqrt{3x+1}$ .

Решение:
Установим область допустимых значений (ОДЗ) неизвестного $x$ . Подкоренное выражение арифметического корня четной степени неотрицательно: $3x + 1\ge 0$ , откуда $3x \ge -1$ и $x \ge -\frac{1}{3}$ . Кроме того, $\sqrt{3x+1} \ge 0$ , а правая часть неравенства больше этого корня (по условию), поэтому $2x > 0$ , отсюда $x > 0$ .

Замечание.
Определяя ОДЗ неизвестного решаемого уравнения или неравенства, необходимо взять только общую часть областей определения всех входящих в него функций ( здесь: $x \ge \frac{1}{3}$ , а также ввести в нее дополнительные ограничения $2x > 0$ , вытекающие из учета областей изменения этих функций ( $\sqrt{3x+1} \ge 0$ ) и соотношения равенства или неравенства между левой и правой частями. Тогда уточненная ОДЗ при решении обеспечит равносильность.

Итак, решение системы двух неравенств $x \ge \frac{1}{3}$ и $x > 0$ дает ограничение для неизвестного: $x > 0$ . Так как обе части данного в условии неравенства положительны ( $x > 0$ ), то неравенство не нарушится при возведении в квадрат.

$3x+1$ ; $4x^2-3x-1>0.$

Решаем равносильную исходному неравенству систему, составленную из полученного квадратного неравенства и неравенства, определившего ОДЗ неизвестного:

$\left\{ 4x^2-3x-1>0, \atop x>0\right.$ . $D=(-3)^2-4 \cdot 4 \cdot (-1)=9+16=25>0$ . $x=\frac{3+-\sqrt{25}}{8}=\frac{3\pm 5}{8}$ ; $x_{1}=1$ ; $x_{2}=-0,25$ ;
решение квадратного неравенства: $\textcolor {blue} {x < - 0,25}$ и $\textcolor {blue} {x > 1}$ .
Так как решением второго неравенства являются $\textcolor {green} {x > 0}$ , то решение системы неравенств: $\textcolor {red} {x > 1}$ .

Ответ:

$x > 1$ .

Пример 2.

Решить иррациональное уравнение $\sqrt{3x+1}-2x=0$ .

Решение:
Чтобы решить иррациональное уравнение, нужно преобразовать его в уравнение рациональное, т. е. освободить от радикалов. Для этого каждый радикал поочередно изолируют в одной из частей уравнения, перенося все другие члены (и радикалы, если таковые еще есть) в другую часть, и затем возводят обе части уравнения в соответствующую степень.
$\sqrt{3x+1}=2x$ .
Так как здесь корень четной степени, а он должен быть арифметический, то сначала определим ОДЗ неизвестного (здесь функции те же, что и в решенном неравенстве): $3x + 1 > 0$ , $x \ge -\frac{1}{3}$ ; так как корень арифметический, то $x \ge 0$ . Из системы неравенств $x \ge -\frac{1}{3}$ и $x \ge 0$ получаем ОДЗ: $x \ge0$ .

Уравнение с изолированным квадратным радикалом возводим в квадрат и присоединяем к нему ОДЗ:

$\left\{ 3x+1=4x^2, \atop x\ge 0\right..$ Полученная система, состоящая из рационального уравнения и неравенства, равносильна данному иррациональному уравнению. Решив квадратное уравнение $4x^2-3x-1=0$ , получаем корни: $x_{1}=1$ , $x_{2}=-0,25$ . Но неравенству $x \ge 0$ удовлетворяет только $x_{1}=1$ , поэтому решением системы, а значит и данного в условии иррационального уравнения будет $x=1$ . Корень $x=-0,25$ посторонний.

Ответ

$x=1$ .