Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

Глава 11. Основные тригонометрические формулы.

11.3. Четность и нечетность функций.

Определение

Функция называется четной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля, т.е. для любого $x$, принадлежащего области определения, $-x$ также принадлежит области определения;
2) при замене значения аргумента $x$ нa противоположное $-x$ значение функции не изменится, т.е. $f(-x)=f(x)$ для любого $x$ из области определения функции.

Примеры четных функций: 1) $y=x^2$, так как $(-x)^2=x^2$; 2) $y=x^2$ и др.
График четной функции симметричен относительно оси ординат (например, парабола $y=x^2$).

Определение

Функция называется нечетной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля, т.е. для любого $x$, принадлежащего области определения, $-x$ также принадлежит области определения;
2) $f(-x)=-f(x)$ для любого $x$ из области определения функции.

Примеры нечетных функций: 1) $y=x$, так как при $(-x)$ получим $y=-x$; 2) $y=x^3$, так как $(-x)^3=-x^3$; 3) $y=\frac{1}{x}$, так как $y=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}$.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (например, прямая $y=x$, гипербола $y=\frac{1}{x}$).

Замечание.
Существуют функции, которые не являются ни чет­ными, ни нечетными, например, $y=x^2+x+1$ (при замене $x$ на $-x$ у них изменяется абсолютная величина значения функции).

(рис.21)

Возьмем в единичном круге два угла $\alpha =\angle BOA$ и $-\alpha =\angle COA$, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку. Их радиус-векторы $OB$ и $OC$ симметричны относительно оси $Ox$, абсциссы совпадают $(x_1=x_2)$ и поэтому их косинусы равны; ординаты $y_1=\text{sin$\alpha $}$ и $y_2=\text{sin($-\alpha $)}$ отличаются только знаками, $y_1=-y_2$ поэтому
$\sin (-\alpha )=-\sin\alpha$;
$\cos (-\alpha )=\cos\alpha$.
Итак, синус — нечетная, а косинус — четная функция. Тангенс и котангенс — нечетные функции:

$\text{tg}(-\alpha )=\frac{\sin(-\alpha )}{\cos (-\alpha )}=\frac{-\sin\alpha }{\cos\alpha }=-\text{tg} \alpha$;

$\text{ctg}(-\alpha )=-\text{ctg}\alpha$.
Применим свойства четности и нечетности тригонометрических функций вместе со свойством их периодичности, по которому аргумент можно увеличить или уменьшить на любое целое число периодов и при этом значение функции не изменится.
$\sin(2\pi -\alpha )=\sin(-\alpha )=-\sin\alpha$;
$\cos(2\pi -\alpha )=\cos(-\alpha)=\cos\alpha$;
$\text{tg}(2\pi -\alpha)=\text{tg}(-\alpha )=-\text{tg}\alpha$;
$\text{ctg}(2\pi -\alpha )=\text{ctg}(-\alpha )=-\text{ctg}\alpha$.