ЭМАлгебра

Алгебра

Глава 11. Основные тригонометрические формулы.

11.1. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Все функции (линейная, квадратная, показательная, логарифмическая и т.д) берутся от числового аргумента, поэтому и в тригонометрических функциях аргументом может быть отвлеченное действительное число, которое иногда выражается через иррациональное число $\pi\approx 3,14$. Между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента существуют следующие алгебраические соотношения, которые называются основными тригонометрическими формулами или тождествами:

$\sin ^2\varphi +\cos ^2\varphi =1$,

$\text{tg}\varphi\text{ctg}\varphi =1$,

$1+\text{tg}^2 \varphi =\frac{1}{\cos ^2\varphi }$,

$1+\text{ctg}^2 \varphi =\frac{1}{\sin ^2 \varphi }$.

Для доказательства основного тригонометрического тождества применим теорему Пифагора к треугольнику $OBM$

Рис.21-1

$BM^2+OM^2=OB^2$ или $x^2+y^2=r^2$.

Разделив обе части на $r^2$, получим:

$(\frac{y}{r})^2+(\frac{x}{r})^2=1$ или $\sin^2 \varphi +\cos^2\varphi=1$.

В остальных трех четвертях $x$ и $y$ могут быть отрицательными, однако равенство и там будет верно, так как квадраты координат $x$ и $y$ будут квадратами длин катетов такого же треугольника. Если учесть еще периодичность, то станет ясно, что основное тригонометрическое тождество верно для любого угла, а поэтому и для любого числового аргумента.