Элементарная математика. Алгебра.

Алгебра

Глава 12. Тригонометрические функции и треугольники

12.2. Теорема синусов

Теорема

Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:
$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$

рис 2 рис 3

Доказательство.

Опишем около треугольника$ABC$ окружность и проведем диаметр $BD$. Точку $D$ соединим с вершиной $C$. Из прямоугольного треугольника $BCD$ найдем гипотенузу $BD$:
$2R=\frac{a}{\sin\delta}$,
где $\delta$ (дельта) — угол при вершине $D$, $R$ — радиус окружности. На рисунке $\delta=\alpha$ (вписанные углы, опирающиеся на $\smile{CB}$) и $\sin\delta = \sin\alpha$. И случае тупого угла $\alpha$ (на рисунке это можно сделать перемещением точек $A$ или $C$) $\delta+\alpha=\pi$ ($\delta$ и $\alpha$ — противоположные углы вписанного в окружность четырехугольника $ABDC$), поэтому $\sin\delta =\sin\alpha$. Итак,

$\frac{a}{\sin\delta}=\frac{a}{\sin\alpha}=2R$.

Аналогично получим, что
$\frac{b}{\sin\beta}=2R$ и $\frac{c}{\sin\gamma}=2R$.
Следовательно,
$\textcolor{red}{ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R }$.

Если $\triangle ABC$ прямоугольный ($\angle{C=90{}^{\circ}}$), то его гипотенуза $c$ и является диаметром описанной окружности, что согласуется с теоремой синусов:
$\frac{c}{sin90{}^{\circ}}=\frac{c}{1}=c=2R$.
Отношение любого катета к синусу противолежащего угла также равно $2R$, т. е. гипотенузе.
Теорема синусов доказана и попутно установлено, что отношение любой стороны всякого треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около этого треугольника.
Из доказанных равенств получаем:

$a=2R\sin\alpha$, $b = 2R\sin\beta$ , $c = 2R\sin\gamma$,
т. е. сторона треугольника равна диаметру описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла.