Теоретический материал: Теорема косинусов.

Теоретический материал

Решение треугольников.

содержание:

1.Решение прямоугольных треугольников.

2.Теорема синусов.

3.Теорема косинусов.

4.Площадь треугольника.

5.Решение косоугольных треугольников.

Алгебра

Глава 12. Тригонометрические функции и треугольники

12.3. Теорема косинусов

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (т. е. на косинус угла, противолежащего вычисляемой стороне):

$a^2=b^2+c^2-2b\,c\,cos\alpha$ (1)

$b^2=a^2+c^2-2a\,c\,cos\beta$ (2)

$c^2=a^2+b^2-2a\,b\,cos\gamma$ (3)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

рис 5

Пусть $CD$ — высота треугольника $ABC$ . В случае острого угла $\alpha$
$a^2=CD^2 + (c-AD)^2 = b^2 - AD^2 + c^2 -2c\,AD + AD^2 = b^2+c^2-2c\,AD$ ,
но в треугольнике $ACD$ катет $AD = b\cos\alpha$ , поэтому после замены $AD$ на $b\cos\alpha$ получим формулу (1).
В случае тупого угла $\alpha$
$a^2=b^2+c^2+2c\,AD$
$AD = b\cos CAD=b\cos(\pi-\alpha)=-b\cos\alpha$
и снова получим формулу (1). В случае прямого угла $\alpha$ имеем $\cos\alpha = 0$ и формула (1) также верна — она обращается в теорему Пифагора, которая оказалась частным случаем (для $\alpha=90^{\circ}$ ) теоремы косинусов. Аналогично доказываются формулы (2) и (3).