Теоретический материал: Площадь треугольника.

Теоретический материал

Решение треугольников.

содержание:

1.Решение прямоугольных треугольников.

2.Теорема синусов.

3.Теорема косинусов.

4.Площадь треугольника.

5.Решение косоугольных треугольников.

Алгебра

Глава 12. Тригонометрические функции и треугольники

12.4. Площадь треугольника

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:

Доказательство:

Из геометрии известна теорема о том, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту опущенную на это основание:
$S= \frac{1}{2} c\,CD$ .
В случае остроугольного треугольника $ABC$ $CD =b\, sin\alpha$ . В случае тупого угла $\alpha$ $CD= b\, sin CAD$ . Ho $\angle{CAD}+\alpha=180{}^{\circ}$ , а поэтому $sinCAD = sin\alpha$ . Итак, в обоих случаях $CD=b\, sin\alpha$ . Подставив вместо $CD$ в геометрической формуле площади треугольника $b\, sin\alpha$ , получим тригонометрическую формулу площади треугольника:
$S= \frac{1}{2} b\,c\, \sin\alpha$ .
Аналогично получим:
$S= \frac{1}{2} a\,c\, \sin\gamma$ и $S= \frac{1}{2} a\,c\, \sin \beta$ .