Алгебра

Глава 12. Тригонометрические функции и треугольники

12.5. Решение косоугольных треугольников

Под косоугольными треугольниками понимают остроугольные и тупоугольные треугольники. Рассмотрим примеры решения таких треугольников на основании теорем синусов и косинусов.

Пример 1.

Дана сторона и два угла треугольника, например, a, \alpha и \beta. Определить стороны b, c, угол \gamma и площадь S.

Решение:
\gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta. По теореме синусов

\frac{b}{\sin {\beta}}=\frac{a}{\sin {\alpha}},

откуда

b=\frac{a \sin {\beta}}{\sin {\alpha}}.

Из пропорции

\frac{c}{\sin {\gamma}}=\frac{a}{\sin {\alpha}}

находим

c=\frac{a \sin {\gamma}}{\sin {\alpha}}.

Площадь треугольника

S=\frac{1}{2}ac \sin {\beta}.

Пример 2.

Даны две стороны и угол между ними, например, a, b,\gamma. Найти c, \alpha, \beta, S.

Решение:
По теореме косинусов
c=\sqrt{a^2+b^2-2ab \cos {\gamma}}.
На основании этой же теоремы найдем и угол \alpha:
\cos {\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2ab}.
Наконец,
\beta=180^{\circ}-\alpha -\gamma.

Пример 3.

Даны две стороны и угол против одной из них, например a, b и \alpha. Вычислить: c, \beta, \gamma, S.

Решение:
По теореме синусов:

\frac{a}{\sin {\alpha}}=\frac{b}{\sin {\beta}},

откуда

\sin {\beta}=\frac{b \sin {\alpha}}{a}.

Определив \beta, найдем

\gamma =180^{\circ}-\alpha -\beta.

По теореме синусов:

\frac{a}{\sin {\alpha}}=\frac{c}{\sin {\gamma}},

откуда

c=\frac{a \sin {\gamma}}{\sin {\alpha}}.

Пример 4.

Даны три стороны треугольника a, b и c. \alpha, \beta, \gamma, S = ?

Решение:
Из теоремы косинусов находим углы:

\cos {\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} и \cos {\beta}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},

а затем

\gamma=180^{\circ}-\alpha -\beta и S=\frac{1}{2}ab \sin {\gamma}.