Алгебра

Глава 12. Тригонометрические функции и треугольники

12.6. Приложение тригонометрии к решению геометрических задач

Если задача содержит угол, величина которого задана в буквенном виде, или требуется найти величину некоторого произвольного угла, то при решении не обойтись без тригонометрии.

Пример.

Определить объем правильной шестиугольной пирамиды, высота которой равна H и плоский угол при вершине равен \alpha.
Дано: SABCDEF — правильная шестиугольная пирамида;
SO \bot ABCDEF, SO = H; \angle{ASB}=\angle{BSC}=.. .=\alpha.
Определить объем V пирамиды.

Решение:
V=\frac{1}{3}QH, где Q — площадь основания пирамиды, являющегося правильным шестиугольником.

12-6

Его сторона AB=AO=BO. Если AB обозначим через a, то площадь правильного треугольника AOB равна

\frac{a^2\sqrt3}{4} и Q=6\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}a^2.

Подставим значение Q в формулу объема:

V=\frac{1}{3}\frac{3\sqrt3}{2}a^2H=\frac{\sqrt3}{2}a^2H.

Остается выразить a через H и \alpha. Обозначим боковое ребро через l. Из прямоугольного треугольника SOB по теореме Пифагора находим:

SO^2=SB^2-BO^2 или H^2=l^2-a^2 .

Проведем апофему пирамиды: SM \bot AB.
Значит,

BM=\frac{a}{2} и \angle{BSM}=\frac{\alpha}{2}.

Выразим l через a, находя гипотенузу SB из прямоугольного треугольника BSM:

l=SB=\frac{BM}{\sin \frac{a}{2}}=\frac{a}{2\sin \frac{a}{2}} .

Подставим вместо l его значение:

H^2=\frac{a^2}{4 \sin^2 {\frac{\alpha}{2}}}-a^2=\frac{a^2}{4 \sin^2 {\frac{\alpha}{2}}}(1-\sin^2 {\frac{\alpha}{2}}),

откуда

a^2=\frac{4 H^2 \sin^2 {\frac{\alpha}{2}}}{1-4 \sin^2 {\frac{\alpha}{2}}} .

Подставим вместо a^2 полученное значение:

V=\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{4 H^2 \sin^2 {\frac{\alpha}{2}}}{1-4 \sin^2 {\frac{\alpha}{2}}} H=\frac{2 \sqrt{3} H^3 \sin^2 {\frac{\alpha}{2}}}{1-4 \sin^2 {\frac{\alpha}{2}}}.

Задача решена, так как искомый объем выражен только через данные величины H, \alpha и числа.