Теоретические материалы: Три признака равенства треугольников

Планиметрия

Глава 1. Треугольники

1.3. Три признака равенства треугольников

Определение

Два треугольника, которые можно совместить наложением, называются равными.

Из определения непосредственно следует: в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и обратно — против равных углов лежат равные стороны.

Теорема 1 (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: треугольник $ABC$ и треугольник $A_1B_1C_1$ , $AB=A_1B_1$ , $AC=A_1C_1$ , $\angle{A}$ = $\angle{A_1}$ .

Требуется доказать: треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$ .

Доказательство:

Доказывается наложением одного из треугольников на другой. Треугольники полностью совместятся, следовательно, по определению они равны.

$\boxtimes$

Теорема 2 (второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Сделайте чертеж, запишите, что дано и что требуется доказать, и докажите наложением треугольников.

Теорема 3 (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Запишите сокращенно условие и заключение теоремы.

Доказательство:

Для доказательства приложим треугольники большими сторонами. Треугольник $A_1B_1C_1$ займет положение $AB_2C$ . Треугольник $BAB_2$ и треугольник $BCB_2$ — равнобедренные. Из равенства углов при основании получаем, что $B=B_2$ . Используем первый признак равенства треугольников.

$\boxtimes$