Topic outline

  • General

    Элементарная математика. Геометрия.

    При использовании материалов ссылка на сайт обязательна

  • Начальные понятия

    Понятие об аксиоме и теореме. Прямая, луч, отрезок. Ломаная. Равенство отрезков. Действия над отрезками. Углы. Биссектриса. Перпендикуляр.

  • Треугольники

    Многоугольник. Виды треугольников. Свойства равнобедренного треугольника. Осевая симметрия. Три признака равенства треугольников. Теорема о внешнем угле треугольника. Зависимость между сторонами и углами треугольника. Теоремы о перпендикуляре, наклонных и их проекциях. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Геометрическое место точек. Основные задачи на построение на плоскости.

    • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из острых углов равен 30^{\circ}. Найдите радиус окружности с центром в вершине угла 30^{\circ}, делящий данный треугольник на две равновеликие части.

      Оформление Тетеруковой В.

    • В прямоугольном треугольнике даны катеты a и b. Найдите расстояние от вершины прямого угла до ближайшей к ней точки вписанной окружности.

      Оформление Тетеруковой В.

    • В треугольнике ABC даны стороны BC=a, CA=b, AB=c. Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла B

    • В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Найдите расстояние между точками пересечения высот двух получившихся треугольников, если катеты данного треугольника равны a и b.

    • Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите углы треугольника ABC,  если \angle BAH = \alpha , \angle ABH = \beta.

      Оформление Метельской Т.

    • В правильном треугольнике  ABC , сторона которого равна  a , проведена высота  CD . В треугольники  ACD и  BCD вписано по окружности и к ним проведена общая внешняя касательная, отличная от стороны  AB . Найдите площадь треугольника, отсекаемого этой касательной от треугольника  ABC .

      Оформление Ляцкой А.

    • Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого треугольника, равно k. Найдите угол при основании треугольника.

      Оформление Князевой З.

    • Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.

      Оформление Кумагер Е.

    • Через вершины A и B треугольника ABC проходит окружность радиуса r, пересекающая сторону BC в точке D. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и C, если AB=c, AC=b

      Оформление Мамедсалиева Р.

    • В треугольнике ABC сторона AB равна 3, а высота CD, опущенная на сторону AB, равна \sqrt{3}. Основание D высоты CD лежит на стороне AB, отрезок AD равен стороне BC. Найдите AC.

      Оформление М.Тарорико

    • Внутри правильного треугольника со стороной 1 помещены две касающиеся друг друга окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника (каждая сторона треугольника касается хотя бы одной окружности). Докажите, что сумма радиусов этих окружностей не меньше чем \frac{ \sqrt 3-1}{2}

      Оформление Лазарчик Е.

    • В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c. Центры трёх окружностей радиуса \displaystyle \frac{c}{5} находятся в его вершинах. Найдите радиус четвёртой окружности, которая касается трёх данных и не содержит их внутри себя.

      Оформление О. Лагутин .

    • В треугольнике ABC на наибольшей стороне BC, равной b, выбирается точка M. Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BAM и ACM.
      Оформление Е.Бачура.

    • В треугольнике ABC из вершины C проведены два луча, делящие угол ACB на три равные части. Найдите отношение отрезков этих лучей, заключённых внутри треугольника, если BC=3AC, \angle{ACB}=\alpha.

      Оформление Н.Панкина.

    • Найти углы треугольника, если известно, что центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно одной из его сторон.

      Оформление Лесковец Никита

    • В треугольнике ABC проведена биссектриса BK. Известно, что центр окружности, вписанной в треугольник ABK, совпадает с центром окружности, описанной около треугольника ABC. Найти углы треугольника ABC.

      Оформление Лузанов Никита

    • В треугольнике ABC сторона AB равна 3, высота CD равна 2\sqrt{3}, AD=BC. Найдите AC.

      Оформление Ясная Татьяна

    • В треугольнике ABC известно, что \angle BAC = 75^\circ, AB = c, AC = b. На стороне BC выбрана точка M так, что \angle BAM = 30^\circ. Прямая AM пересекает окружность, описанную около ABC, в точке N, отличной от A. Найдите AN.

      Оформление: Утлик Алиса

    • В треугольнике ABC проведены высота BM, биссектриса BN и медиана BL. Известно, что AM = MN = NL. Найдите тангенс угла A этого треугольника.

      Оформление: Булгак Виктория

    • В остроугольном \triangle ABC проведены высоты AM и CN. O — центр описанной около \triangle ABC окружности. \angle ABC = \beta, S_{NOMB} = S. Найти: AC.

      Оформление: Комиссаров Олег

    • В треугольниках  ABC и  A'B'C'   AB=A'B' , AC=A'C' \angle BAC=60 ^ \circ  \angle B'A'C'=120^ \circ  B'C':BC= \sqrt{n} ( n   - целое число). Найдите  AB:AC . При каких  n задача имеет хотя бы одно решение?

      Оформление: Дрозд Анна

    • Найдите наибольший угол треугольника, если известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника, в два раза меньше наименьшей высоты данного треугольника.

      Оформление: Макейчик Никита

    • В треугольнике  ABC биссектриса угла  C перпендикулярна медиане, выходящей из вершины  B . Центр вписанной окружности лежит на окружности, проходящей через точки  A ,  C и центр описанной окружности. Найти  AB , если  BC = 1 .

      Оформление: Семенова Анастасия

    • О треугольнике ABC известно, что \angle BAC =\frac{\pi}{6}. Окружность с центром в A и радиусом, равным высоте, опущенной на BC, делит площадь треугольника пополам. Найдите наибольший угол треугольника ABC.

      Оформление: Любченко Аким

    • В треугольнике ABC сторона BC равна a, радиус вписанной окружности равен r. Найдите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон BC и BA, а другая — BC и CA.

      Оформление: Дробышевский Всеволод

  • Параллельные прямые

    Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства углов при параллельных прямых и секущей. Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами. Сумма углов треугольника. Сумма углов многоугольника.

  • Параллелограммы и трапеции

    Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Симметрия в параллелограммах. Деление отрезка на равные части. Средняя линия треугольника. Трапеция и ее средняя линия.

    • Доказать, что четырехугольник с вершинами в серединах сторон данного четырехугольника является параллелограммом. При каких условиях этот параллелограмм будет прямоугольником? ромбом? квадратом?

      Оформление Карандашевой Л.

    • Доказать, что в трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

      Оформление Ю. Буяльской

    • Дана трапеция ABCD. Большее основание трапеции равно a, а меньшее – b. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

      Оформление Шахорский А.

    • Дан выпуклый четырехугольник ABCD, у которого BC \bot AD. Отрезок, соединяющий середины сторон AB и CD, равен 1. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей данного четырехугольника.

      Оформление Дайнеко А.

    • Определите острый угол ромба, в котором сторона есть среднее геометрическое его диагоналей.

      Оформление Контровской Т.

    • Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны. Найти площадь четырехугольника.

      Оформление Дорожко Т.

    • Сторона AD прямоугольника ABCD в три раза больше стороны AB, точки M и N делят AD на три равные части. Найдите \angle{AMB}+\angle{ANB}+\angle{ADB}.

      Оформление Евтух В.

    • В равнобочной трапеции, описанной около окружности, отношение параллельных сторон равно k. Найдите угол при основании?

      Оформление Курьян Е.

    • Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны S_1 и S_2. Найдите площадь трапеции.

    • Прямая ON, перпендикулярная двум сторонам параллелограмма AKLM, делит его на две трапеции AKON и NOML, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите острый угол параллелограмма AKLM, если его стороны равны a и b (a < b).

      Оформление А.Статкевич

    • На сторонах AB и AD ромба ABCD взяты две точки M и N так, что MC и NC делят ромб на три равновеликие части. Найдите MN, если BD=d.

      Оформление Дорожко Т.

    • Площадь ромба равна S, сумма его диагоналей — m. Найдите сторону ромба.

      Оформление Скитюк А.

    • Дан квадрат ABCD со стороной a. Найдите радиус окружности, проходящей через середину стороны AB, центр квадрата и вершину C.

    • Дан квадрат ABCD со стороной a. Определите расстояние между серединой отрезка AM, где M — середина BC, и точкой N на стороне CD, делящей её так, что CN:ND=3:1.

    • В трапеции ABCD углы A и D при основании AD соответственно равны 60^\circ и 30^\circ. Точка N лежит на основании BC, причем BN : NC = 2. Точка M лежит на основании AD, прямая MN перпендикулярна основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите AM : MD.

      Оформление А. Бугаевой (Божко)

    • В параллелограмме ABCD известно: AB=a, AD=b (b>a),  \angle BAD = \alpha ( \alpha < 90^ \circ ). На сторонах AD и BC взяты точки K и M так, что BKDM — ромб. Найдите сторону ромба.

      Оформление Е.Крыжановской

    • В параллелограмме ABCD известны AB = a, BC = b, \angle ABC = \alpha. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.

      Оформление Е.Наджарян.

    • Дан параллелограмм ABCD с острым углом DAB, равным \alpha, в котором AB=a, AD=b (a. Пусть K — основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на AD, а M — основание перпендикуляра, опущенного из точки K на продолжение стороны CD. Найдите площадь треугольника BKM.

      Оформление П.Пальчук.

    • В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных  сторон, равны соответственно a и b и пересекаются под углом 60^\circ. Найдите диагонали четырехугольника.

      Оформление И. Захаровой

    • В ромбе ABCD со стороной a угол при вершине A равен 120^\circ. Точки E и F лежат на сторонах BC и AD соответственно, отрезок EF и диагональ ромба AC пересекаются в точке M. Площади четырехугольников BEFA и ECDF относятся как 1:2. Найдите EM, если AM:MC=1:3.

      Оформление В. Каплюк

    • В трапеции PQRS основание PS равно 5, диагональ PR равна 7, \angle PRQ=45^{\circ}. Что больше: сторона RS или диагональ SQ?

      Оформление Кот Кристина

    • Основание AB трапеции ABCD вдвое длиннее боковой стороны AD, AD=DC. Диагональ AC равна a, боковая сторона BC равна b. Найдите площадь трапеции.

      Оформление Левчук Денис

    • В трапеции ABCD даны основания: AD = 12 и BC = 3. На продолжении стороны BC выбрана такая точка M, что прямая AM отсекает от трапеции треугольник, площадь которого составляет 0,75 площади трапеции. Найдите CM.

      Оформление Миклушите Юлия

    • Около окружности описана равнобочная трапеция ABCD. Боковые стороны AB и CD касаются окружности в точках M и N, K — середина AD. В каком отношении прямая BK делит отрезок MN?

      Оформление: Загоровский Артём

    • Стороны параллелограмма ABCD, в котором AB=aBC=b(a \neq b). В каких пределах может меняться косинус острого угла между диагоналями.

      Оформление: Козак Дмитрий

  • Площади

    Площадь прямоугольника и квадрата. Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции.

    • Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Доказать, что площади двух треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны. Найти площадь трапеции, если известны площади S_{1} и S_{2} треугольников, прилежащих к основаниям.

      Оформление Чумакина А.

    • В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Известно, что площадь каждого из треугольников AEB и CED равна 7,а площадь всего четырехугольника не превосходит 28, AD=\sqrt5 .Найти BC.

      Оформление Клепец Н.

    • В выпуклом четырехугольнике ABCD точки K, L, M, N являются соответственно серединами сторон AB,BC,CD и AD, E — точка пересечения отрезков KM и LN . Известно, что \angle LEM = 90^\circ, KM=3LN , а площадь четырехугольника KLMN равна 3. Найти длины диагоналей четырехугольника ABCD.

      Оформление Семашко Е.

    • Диагонали трапеции равны 26 и 30, расстояние между серединами оснований равно 14. Найти площадь трапеции.

      Оформление Окунева Г. 

    • Основания трапеции a и b . Найти длину отрезка, параллельного основаниям, с концами на боковых сторонах трапеции, делящего ее площадь пополам.

      Оформление Плескацевич М.

    • Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из её боковых сторон на три равные части. Найти площадь средней части, если площадь крайних S_{1} и S_{2}.

      Оформление Кабакова А.

    • Перпендикуляр к боковой стороне AB трапеции ABCD, проходящий через ее середину K, пересекает сторону CD в точке L. Площадь AKLD в 5 раз больше площади BKLC, CL=3, DL=15, KC=4. Найти длину KD.

      Оформление Власик С.Г.

    • В прямоугольном треугольнике медиана равна m и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите площадь треугольника.

      Оформление Контровской Т.

    • Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на три равные части. Вся трапеция разделена ими на три части. Найдите площадь средней части, если площади крайних равны S_{1} и S_{2}.

      Оформление Курьян Е.

    • В трапеции ABCD основание AB равно a, а основание CD равно b. Найдите площадь трапеции, если известно, что диагонали трапеции являются биссектрисами углов DAB и ABC.

      Оформление Лапко Ю.

    • В равнобедренной трапеции средняя линия равна a, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

      Оформление Лапко Ю.

    • К окружности радиуса R из внешней точки M проведены касательные MA и MB, образующие угол \alpha. Определите площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей дугой окружности.

      Оформление Захаренкова

    • Даны три попарно касающиеся окружности радиуса r. Найдите площадь треугольника, образованного тремя прямыми, каждая из которых касается двух окружностей и не пересекает третью.

      Оформление Мартынюк А.

    • В прямоугольном \triangle{ABC} катет CA равен b. Катет CB равен a, CH — высота, AM — медиана. Найти площадь \triangle{BMH}.

      Оформление Растюшевского

    • Найти площадь пятиугольника, ограниченного прямыми BC, CD, AN, AM и BD, где A, B и D — три вершины квадрата ABCD; N — середина стороны BC; M делит сторону CD в отношении 2:1 (считая от вершины C), если сторона квадрата ABCD равна a.

      Оформление Д.Васильевой

    • Дан квадрат со стороной a. Найдите площадь правильного треугольника, одна вершина которого совпадает с серединой одной из сторон квадрата, а две другие расположены на диагоналях квадрата.   

      Оформление Войтюшкевич Ю.

    • На сторонах квадрата ABCD взяты точки M, N и K, где M—середина AB; N лежит на стороне BC, причём 2BN=NC; K лежит на DA, причём 2DK=KA. Найдите синус угла между прямыми MC и NK

      Оформление Михович И.

    • Вокруг трапеции описана окружность. Основание трапеции составляет с боковой стороной угол \alpha, а с диагональю — угол \beta. Найдите отношение площади круга к площади трапеции. 

    • В равнобочной трапеции ABCD основание AD равно a, основание BC равно b, AB=d. Через вершину B проведена прямая, делящая пополам диагональ AC и пересекающая AD в точке K. Найдите площадь треугольника BDK

      Оформление Семеновича А.

    • На стороне AB треугольника ABC взята точка M, а на стороне BC — точка N, причём AM=3MB, а 2AN=NC. Найдите площадь четырёхугольника .MBCN, если площадь треугольника ABC равна S.

      Оформление М.Вечер 

    • В треугольнике ABC известно: \angle A=\alpha, BA=a, AC=b. На сторонах AC и AB взяты точки M и N, где M — середина AC. Найдите длину отрезка MN, если известно, что площадь треугольника AMN составляет \ds{\frac{1}{3}} площади треугольника ABC.

      Оформление Е.Матусевич.

    • В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса AD. Площади треугольников ABD и ADC равны соответственно S_{1} и S_{2}. Найдите AC.

      Оформление В.Синдаров.

    • В треугольнике ABC биссектриса \angle{ABC} пересекает сторону AC в точке K. Известно, что BC=2, KC=1, BK=\frac{3 \sqrt2}{2}. Найдите площадь треугольника ABC.

      Оформление В. Волохович

    • В остроугольном треугольнике  \triangle ABC сторона AC равна 3, высота опущенная на AC, равна 4. В \triangle ABC вписан прямоугольник так, что одна его сторона расположена на AC, а две вершины на AB и BC. Диагональ прямоугольника равна 3.48. Найдите площадь прямоугольника.

      Оформление: Важинская Анастасия

    • Из точки  M , расположенной внутри треугольника  ABC , опущены перпендикуляры на его стороны. Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответственно равны  a и  k ,  b и  m ,  c и  n . Вычислите отношение площади треугольника  ABC к площади треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.

      Оформление: Лемешевский Евгений

    • В треугольнике ABC с периметром 2p сторона AC равна a, угол ABC равен  \alpha . Вписанная в треугольник ABC окружность с центром O касается стороны BC в точке K. Найдите площадь треугольника BOK.

      Оформление: Чикова Екатерина

    • Расстояние от точки M до трех вершин прямоугольника равны (последовательно) 3, 5, 4. Найдите площадь прямоугольника.

      Оформление:  Дятловский Дмитрий

    • На отрезке AB лежат точки C и D, причём точка C — между точками A и D. Точка M взята так, что прямые AM и MD перпендикулярны и прямые CM и MB также перпендикулярны. Найдите площадь треугольника AMB, если известно, что величина угла CMD равна \alpha, а площади треугольников AMD и CMB равны S_1 и S_2 соответственно.

      Оформление: Владислав Бабурин

    • Точка  M удалена от сторон угла в  60^\circ на расстояния \sqrt{3} и 3\sqrt{3} (основания перпендикуляров, опущенных из  M   на стороны угла, лежат на сторонах, а не на их продолжениях). Прямая, проходящая через  M , пересекает стороны угла и отсекает треугольник периметра 12. Найти площадь этого треугольника.

      Оформление: Евтеев Вадим.

    • В параллелограмме ABCD острый угол равен \alpha. Окружность радиуса r проходит через вершины A, B и C и пересекает прямые AD и CD в точках M и N. Найдите площадь треугольника BMN.

      Оформление: Миковоз Сергей

    • В окружность радиуса R вписана трапеция. Прямые, проходящие через концы одного основания параллельно боковым сторонам, пересекаются в центре окружности. Боковая сторона видна из центра под углом \alpha. Найдите площадь трапеции.

      Оформление: Болбат Дмитрий

    • В трапецию вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если известны длина a одного из оснований и отрезки b и d, на которые разделена точкой касания одна из боковых сторон (отрезок b примыкает к данному основанию a).

      Оформление: Буйко Алина

    • В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.

      Оформление: Воробьева Дарья

    • Стороны AB и CD четырёхугольника ABCD перпендикулярны и являются диаметрами двух равных касающихся окружностей радиуса r. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если BC:AD = k.

      Оформление: Данилевич Матвей

    • Найдите площадь ромба ABCD, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD, равны R и r.

      Оформление: Иванов Тимофей

    • В трапеции ABCD дано: AB = BC = CD = a, DA = 2a. На прямых AB и AD взяты точки E и F, отличные от вершин трапеции, так, что точка пересечения высот треугольника CEF совпадает с точкой пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите площадь треугольника CEF.

      Оформление: Мисюкевич Дарья

  • Подобие фигур. Метрические соотношения в треугольнике

    Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Отношение отрезков. Пропорциональные отрезки. Пропорциональные отрезки на сторонах угла. Деление отрезка пропорционально данным отрезкам. Подобие. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников. Подобные многоугольники. Подобное преобразование многоугольников. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника. Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. Квадрат любой стороны треугольника. Формула для вычисления площади треугольника по трем его сторонам. Отношение площадей подобных многоугольников.

    • На стороне AB треугольника ABC взяты точки M и N так, что AM: MN: NB =1:2:3. Через точки M и N проведены прямые, параллельные стороне BC. Найдите площадь части треугольника, заключенной между этими прямыми, если площадь треугольника ABC равна S.

      Оформление К.Ванюк

    • Окружности радиусов R и \frac{R}{2} касаются друг друга внешним образом. Один из концов отрезка длиной 2R, образующего с линией центров угол равный 30^{\circ} , совпадает с центром окружности меньшего радиуса. Какая часть отрезка лежит вне обоих кругов? (Отрезок пересекает обе окружности).   

      Оформление Желток П.

    • В прямоугольном треугольнике меньший угол равен \alpha. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, делящая треугольник на две равновеликие части. Определите, в каком отношении эта прямая делит гипотенузу.

      Оформление Е.Рак

    • В треугольнике ABC заданы AB = c, BC = a, \angle B = \beta. На стороне AB взята точка M так, что 2AM = 3MB. Найдите расстояние от точки M до стороны AC.

      Оформление Н.Нупрейчик

    • В треугольнике ABC на стороне BC взята точка M таким образом, что расстояние от вершины B до центра тяжести треугольника AMC равно расстоянию от вершины C до центра тяжести треугольника AMB. Докажите, что BM=DC, где D — основание высоты, опущенной на BC из вершины A.

      Оформление Д. Мочалова

    • Дан треугольник ABC. Известно, что AB = 4, AC = 2 и BC = 3. Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке K. Прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекает продолжение биссектрисы AK в точке M. Найдите KM.

      Оформление Л. Заровской

    • Дан угол \alpha ( \alpha \lt 90^\circ) с вершиной O. На одной его стороне взята точка M и восставлен перпендикуляр в этой точке до пересечения с другой стороной в точке N. Точно так же в точке K на другой стороне восставлен перпендикуляр до пересечения с первой стороной в точке P. Пусть точка B есть точка пересечения прямых MN и KP, а точка A есть точка пересечения прямых OB и NP. Найти OA, если OM=a и OP=b.

      Оформление В. Травина

    • В треугольнике ABC высота BD равна 6, медиана CE равна 5. Расстояние от точки пересечения отрезков BD и CE до стороны AC равно 1. Найдите сторону AB.

      Оформление Гаель Павел

    • В треугольнике ABC из вершин A и C на стороны BC и AB опущены высоты AP и CK. Найдите сторону AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 15, периметр треугольника BPK равен 9, а радиус окружности, описанной около треугольника BPK, равен 1.8.

      Оформление Москаленко Илья

    • Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC равна биссектрисе внешнего угла при вершине A и равна стороне AB. Найдите углы треугольника ABC. (Биссектриса внешнего угла при вершине B есть отрезок биссектрисы угла , смежного с B, ограниченный точкой B и точкой пересечения с прямой AC.)

      Оформление Таруть Елизавета

    • Угол A треугольника ABC равен \alpha, AB; точка D взята на стороне AC так, что CD=AB, M — середина AD, N — середина BC. Найдите \angle{NMC}.

      Оформление: Сардыко Максим

    • AB — хорда окружности, l — касательная к окружности, C — точка касания. Расстояния от A и B до l равны соответственно a и b. Найдите расстояние от C до AB.

      Оформление: Кушарева Евгения

    • Через точку M внутри треугольника ABC проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Отрезки прямых, заключенные внутри треугольника, равны между собой. Найдите длины этих отрезков, если стороны треугольника равны a, b, c.

      Оформление: Микулич Владислав

    • В треугольнике  ABC  проведены медиана AD, \angle DAC + \angle ABC = 90^\circ \. Найдите \angle BAC, если известно что AB\neq AC.

      Оформление: Павлов Кирилл

    • В равностороннем треугольнике ABC сторона равна a. На стороне BC лежит точка D, на стороне AB — точка E так, что BD = \frac{a}{3}, AE = DE. Найдите CE.

      Оформление: Бондарчик Альбина

    • В прямоугольном треугольнике  ABC  из вершины прямого угла  C  проведены биссектриса  CL (CL = a)  и медиана  CM (CM = b). Найдите площадь треугольника  ABC.

      Оформление: Циркунов Владислав

    • В треугольнике ABC на средней линии DE, параллельной AB,  как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N. Найдите MN, если BC = a, AC = b, AB = c.

      Оформление: Зарудко Игнат

    • Даны угол величины \alpha‎ с вершиной в A и точка B на расстоянии a и b от сторон угла. Найдите AB.

      Оформление: Колодич Антон

    • Даны h_a и h_b — высоты треугольника ABC, опущенные из вершин A и B, и длина l биссектрисы угла C. Найдите угол C.

      Оформление: Крайний Эдвард

  • Окружность и круг

    Окружность. Центральные углы. Зависимость между дугами и хордами. Диаметр, перпендикулярный к хорде. Дуги между параллельными хордами. Касательная к окружности. Измерение центральных и вписаных углов. Другие углы, связанные с окружностью. Пропорциональные отрезки в круге. Длина окружности и дуги. Площадь круга и его частей.

    • Около окружности описана трапеция. Доказать, что концы боковой стороны трапеции и центр окружности являются вершинами прямоугольного треугольника. Доказать, что произведение отрезков боковой стороны, на которые она разделена точкой касания, равно квадрату радиуса окружности.

      Оформление Сысуна Ф.

    • Около круга описан четырехугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в точке E. Радиусы окружностей, описанных около треугольников AEB, BEC и CED равны соответственно R_1, R_2 и R_3. Найти радиус окружности, описанной около треугольника AED ( R_4).

      Оформление Билевич Т.

    • В треугольнике ABC проведена высота BN. Точка O — центр описанной около ABC окружности. Докажите, что \angle{OBC}=\angle{NBA}.