ЭМГеометрия

Section

• Элементарная математика. Геометрия.

  При использовании материалов ссылка на сайт обязательна

  • Словарь геометрических терминов Glossary
  • Кроссворд Game
• 

  Open allClose all

  

• Начальные понятия

  - Toggle

  Понятие об аксиоме и теореме. Прямая, луч, отрезок. Ломаная. Равенство отрезков. Действия над отрезками. Углы. Биссектриса. Перпендикуляр.

  • Теоретические материалы Book
  
• Треугольники

  - Toggle

  Многоугольник. Виды треугольников. Свойства равнобедренного треугольника. Осевая симметрия. Три признака равенства треугольников. Теорема о внешнем угле треугольника. Зависимость между сторонами и углами треугольника. Теоремы о перпендикуляре, наклонных и их проекциях. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Геометрическое место точек. Основные задачи на построение на плоскости.

  • Теоретические материалы Book
  • Тест Quiz
  • Задача (138) Page

    Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $c$, а один из острых углов равен $30^{\circ}$. Найдите радиус окружности с центром в вершине угла $30^{\circ}$, делящий данный треугольник на две равновеликие части.

    Оформление Тетеруковой В.
    

  • Задача (139) Page

    В прямоугольном треугольнике даны катеты $a$ и $b$. Найдите расстояние от вершины прямого угла до ближайшей к ней точки вписанной окружности.

    Оформление Тетеруковой В.

  • Задача (141) Page

    В треугольнике $ABC$ даны стороны $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла $B$. 

  • Задача (158) Page

    В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Найдите расстояние между точками пересечения высот двух получившихся треугольников, если катеты данного треугольника равны $a$ и $b$.

  • Задача (169) Page

    Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите углы треугольника $ABC$,  если $\angle BAH = \alpha$ , $\angle ABH = \beta$.

    Оформление Метельской Т.

  • Задача (187) Page

    В правильном треугольнике $ABC$, сторона которого равна $a$, проведена высота $CD$. В треугольники $ACD$ и $BCD$ вписано по окружности и к ним проведена общая внешняя касательная, отличная от стороны $AB$. Найдите площадь треугольника, отсекаемого этой касательной от треугольника $ABC$.

    Оформление Ляцкой А.
    

  • Задача (197) Page

    Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого треугольника, равно $k$. Найдите угол при основании треугольника.

    Оформление Князевой З.

  • Задача (198) Page

    Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.

    Оформление Кумагер Е.

  • Задача (203) Page

    Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проходит окружность радиуса $r$, пересекающая сторону $BC$ в точке $D$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$, $D$ и $C$, если $AB=c$, $AC=b$. 

    Оформление Мамедсалиева Р.
    

  • Задача (204) Page

    В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $3$, а высота $CD$, опущенная на сторону $AB$, равна $\sqrt{3}$. Основание $D$ высоты $CD$ лежит на стороне $AB$, отрезок $AD$ равен стороне $BC$. Найдите $AC$.

    Оформление М.Тарорико

  • Задача (208) Page

    Внутри правильного треугольника со стороной $1$ помещены две касающиеся друг друга окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника (каждая сторона треугольника касается хотя бы одной окружности). Докажите, что сумма радиусов этих окружностей не меньше чем $\frac{ \sqrt 3-1}{2}$. 

    Оформление Лазарчик Е.

  • Задача (216) Page

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$. Центры трёх окружностей радиуса $\displaystyle \frac{c}{5}$ находятся в его вершинах. Найдите радиус четвёртой окружности, которая касается трёх данных и не содержит их внутри себя.

    Оформление О. Лагутин .

  • Задача (220) Page

    В треугольнике $ABC$ на наибольшей стороне $BC$, равной $b$, выбирается точка $M$. Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BAM$ и $ACM$.
    Оформление Е.Бачура.

  • Задача (227) Page

    В треугольнике $ABC$ из вершины $C$ проведены два луча, делящие угол $ACB$ на три равные части. Найдите отношение отрезков этих лучей, заключённых внутри треугольника, если $BC=3AC$, $\angle{ACB}=\alpha$.

    Оформление Н.Панкина.

  • Задача (256) Page

    Найти углы треугольника, если известно, что центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно одной из его сторон.

    Оформление Лесковец Никита

  • Задача (257) Page

    В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BK$. Известно, что центр окружности, вписанной в треугольник $ABK$, совпадает с центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Найти углы треугольника $ABC$.

    Оформление Лузанов Никита

  • Задача (263) Page

    В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $3$, высота $CD$ равна $2\sqrt{3}$, $AD=BC$. Найдите $AC$.

    Оформление Ясная Татьяна

  • Задача 273 Page

    В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 75^\circ$, $AB = c$, $AC = b$. На стороне $BC$ выбрана точка $M$ так, что $\angle BAM = 30^\circ$. Прямая $AM$ пересекает окружность, описанную около $ABC$, в точке $N$, отличной от $A$. Найдите $AN$.

    Оформление: Утлик Алиса

  • Задача 277 Page

    В треугольнике $ABC$ проведены высота $BM$, биссектриса $BN$ и медиана $BL$. Известно, что $AM = MN = NL$. Найдите тангенс угла $A$ этого треугольника.

    Оформление: Булгак Виктория

  • Задача 278 Page

    В остроугольном $\triangle ABC$ проведены высоты $AM$ и $CN$. $O$ — центр описанной около $\triangle ABC$ окружности. $\angle ABC = \beta$, $S_{NOMB} = S$. Найти: $AC$.

    Оформление: Комиссаров Олег

  • Задача 283 Page

    В треугольниках $ABC$ и $A'B'C'$ $AB=A'B'$, $AC=A'C'$, $\angle BAC=60 ^ \circ$, $\angle B'A'C'=120^ \circ$, $B'C':BC= \sqrt{n}$ ($n$ $-$ целое число). Найдите $AB:AC$. При каких $n$ задача имеет хотя бы одно решение?

    Оформление: Дрозд Анна

  • Задача 296 Page

    Найдите наибольший угол треугольника, если известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника, в два раза меньше наименьшей высоты данного треугольника.

    Оформление: Макейчик Никита

  • Задача 297 Page

    В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $C$ перпендикулярна медиане, выходящей из вершины $B$. Центр вписанной окружности лежит на окружности, проходящей через точки $A$, $C$ и центр описанной окружности. Найти $AB$, если $BC = 1$.

    Оформление: Семенова Анастасия

  • Задача 304 Page

    О треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC =\frac{\pi}{6}$. Окружность с центром в $A$ и радиусом, равным высоте, опущенной на $BC$, делит площадь треугольника пополам. Найдите наибольший угол треугольника $ABC$.

    Оформление: Любченко Аким

  • Задача 306 Page

    В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$, радиус вписанной окружности равен $r$. Найдите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон $BC$ и $BA$, а другая — $BC$ и $CA$.

    Оформление: Дробышевский Всеволод

  
• Параллельные прямые

  - Toggle

  Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства углов при параллельных прямых и секущей. Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами. Сумма углов треугольника. Сумма углов многоугольника.

  • Теоретические материалы Book
  
• Параллелограммы и трапеции

  - Toggle

  Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Симметрия в параллелограммах. Деление отрезка на равные части. Средняя линия треугольника. Трапеция и ее средняя линия.

  • Теоретические материалы Book
  • Задача 1 Page

    Доказать, что четырехугольник с вершинами в серединах сторон данного четырехугольника является параллелограммом. При каких условиях этот параллелограмм будет прямоугольником? ромбом? квадратом?

    Оформление Карандашевой Л.

  • Задача 2 Page

    Доказать, что в трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

    Оформление Ю. Буяльской

  • Задача 4 Page

    Дана трапеция $ABCD$. Большее основание трапеции равно $a$, а меньшее – $b$. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

    Оформление Шахорский А.

  • Задача 7 Page

    Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, у которого $BC \bot AD$. Отрезок, соединяющий середины сторон $AB$ и $CD$, равен $1$. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей данного четырехугольника.

    Оформление Дайнеко А.

  • Задача (144) Page

    Определите острый угол ромба, в котором сторона есть среднее геометрическое его диагоналей.

    Оформление Контровской Т.

  • Задача (145) Page

    Диагонали выпуклого четырехугольника равны $a$ и $b$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны. Найти площадь четырехугольника.

    Оформление Дорожко Т.
    

  • Задача (146) Page

    Сторона $AD$ прямоугольника $ABCD$ в три раза больше стороны $AB$, точки $M$ и $N$ делят $AD$ на три равные части. Найдите $\angle{AMB}+\angle{ANB}+\angle{ADB}$.

    Оформление Евтух В.
    

  • Задача (153) Page

    В равнобочной трапеции, описанной около окружности, отношение параллельных сторон равно $k$. Найдите угол при основании?

    Оформление Курьян Е.

  • Задача (157) Page

    Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны $S_1$ и $S_2$. Найдите площадь трапеции.

  • Задача (159) Page

    Прямая $ON$, перпендикулярная двум сторонам параллелограмма $AKLM$, делит его на две трапеции $AKON$ и $NOML$, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите острый угол параллелограмма $AKLM$, если его стороны равны $a$ и $b$ ($a < b$).

    Оформление А.Статкевич

  • Задача (165) Page

    На сторонах $AB$ и $AD$ ромба $ABCD$ взяты две точки $M$ и $N$ так, что $MC$ и $NC$ делят ромб на три равновеликие части. Найдите $MN$, если $BD=d$.

    Оформление Дорожко Т.
    

  • Задача (170) Page

    Площадь ромба равна $S$, сумма его диагоналей — $m$. Найдите сторону ромба.

    Оформление Скитюк А.
    

  • Задача (175) Page

    Дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Найдите радиус окружности, проходящей через середину стороны $AB$, центр квадрата и вершину $C$.

  • Задача (180) Page

    Дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Определите расстояние между серединой отрезка $AM$, где $M$ — середина $BC$, и точкой $N$ на стороне $CD$, делящей её так, что $CN:ND=3:1$.

  • Задача (210) Page

    В трапеции $ABCD$ углы $A$ и $D$ при основании $AD$ соответственно равны $60^\circ$ и $30^\circ$. Точка $N$ лежит на основании $BC$, причем $BN : NC = 2$. Точка $M$ лежит на основании $AD$, прямая $MN$ перпендикулярна основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите $AM : MD$.

    Оформление А. Бугаевой (Божко)

  • Задача (215) Page

    В параллелограмме $ABCD$ известно: $AB=a$, $AD=b$ $(b>a)$, $\angle BAD = \alpha$ $( \alpha < 90^ \circ )$. На сторонах $AD$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ так, что $BKDM$ — ромб. Найдите сторону ромба.

    Оформление Е.Крыжановской

  • Задача (221) Page

    В параллелограмме $ABCD$ известны $AB = a, BC = b, \angle ABC = \alpha$. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BCD$ и $DAB$.

    Оформление Е.Наджарян.

  • Задача (226) Page

    Дан параллелограмм $ABCD$ с острым углом $DAB$, равным $\alpha$, в котором $AB=a$, $AD=b$ $(a<b)$. Пусть $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $B$ на $AD$, а $M$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на продолжение стороны $CD$. Найдите площадь треугольника $BKM$.

    Оформление П.Пальчук.

  • Задача (232) Page

    В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных  сторон, равны соответственно $a$ и $b$ и пересекаются под углом $60^\circ$. Найдите диагонали четырехугольника.

    Оформление И. Захаровой

  • Задача (245) Page

    В ромбе $ABCD$ со стороной $a$ угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $BC$ и $AD$ соответственно, отрезок $EF$ и диагональ ромба $AC$ пересекаются в точке $M$. Площади четырехугольников $BEFA$ и $ECDF$ относятся как $1:2$. Найдите $EM$, если $AM:MC=1:3$.

    Оформление В. Каплюк

  • Задача (252) Page

    В трапеции $PQRS$ основание $PS$ равно $5$, диагональ $PR$ равна $7$, $\angle PRQ=45^{\circ}$. Что больше: сторона $RS$ или диагональ $SQ$?

    Оформление Кот Кристина

  • Задача (255) Page

    Основание $AB$ трапеции $ABCD$ вдвое длиннее боковой стороны $AD$, $AD=DC$. Диагональ $AC$ равна $a$, боковая сторона $BC$ равна $b$. Найдите площадь трапеции.

    Оформление Левчук Денис

  • Задача (259) Page

    В трапеции ABCD даны основания: $AD = 12$ и $BC = 3$. На продолжении стороны $BC$ выбрана такая точка $M$, что прямая $AM$ отсекает от трапеции треугольник, площадь которого составляет $0,75$ площади трапеции. Найдите $CM$.

    Оформление Миклушите Юлия

  • Задача 284 Page

    Около окружности описана равнобочная трапеция $ABCD$. Боковые стороны $AB$ и $CD$ касаются окружности в точках $M$ и $N$, $K$ — середина $AD$. В каком отношении прямая $BK$ делит отрезок $MN$?

    Оформление: Загоровский Артём

  • Задача 309 Page

    Стороны параллелограмма $ABCD$, в котором $AB=a$, $BC=b$($a \neq b$). В каких пределах может меняться косинус острого угла между диагоналями.

    Оформление: Козак Дмитрий

  • Тест Quiz
  
• Площади

  - Toggle

  Площадь прямоугольника и квадрата. Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции.

  • Теоретические материалы Book
  • Задача (3) Page

    Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Доказать, что площади двух треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны. Найти площадь трапеции, если известны площади $S_{1}$ и $S_{2}$ треугольников, прилежащих к основаниям.

    Оформление Чумакина А.

  • Задача (8) Page

    В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$. Известно, что площадь каждого из треугольников $AEB$ и $CED$ равна $7$,а площадь всего четырехугольника не превосходит $28$, $AD$=$\sqrt5$ .Найти $BC$.

    Оформление Клепец Н.

  • Задача (9) Page

    В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ являются соответственно серединами сторон $AB$,$BC$,$CD$ и $AD$, $E$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $LN$ . Известно, что $\angle LEM = 90^\circ$, $KM=3LN$ , а площадь четырехугольника $KLMN$ равна $3$. Найти длины диагоналей четырехугольника $ABCD$.

    Оформление Семашко Е.

  • Задача (10) Page

    Диагонали трапеции равны $26$ и $30$, расстояние между серединами оснований равно $14$. Найти площадь трапеции.

    Оформление Окунева Г. 

  • Задача (12) Page

    Основания трапеции $a$ и $b$ . Найти длину отрезка, параллельного основаниям, с концами на боковых сторонах трапеции, делящего ее площадь пополам.

    Оформление Плескацевич М.

  • Задача (13) Page

    Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из её боковых сторон на три равные части. Найти площадь средней части, если площадь крайних $S_{1}$ и $S_{2}$.

    Оформление Кабакова А.

  • Задача (14) Page

    Перпендикуляр к боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$, проходящий через ее середину $K$, пересекает сторону $CD$ в точке $L$. Площадь $AKLD$ в $5$ раз больше площади $BKLC$, $CL=3, DL=15, KC=4$. Найти длину $KD$.

    Оформление Власик С.Г.

  • Задача (140 ) Page

    В прямоугольном треугольнике медиана равна $m$ и делит прямой угол в отношении $1:2$. Найдите площадь треугольника.

    Оформление Контровской Т.

  • Задача (150) Page

    Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на три равные части. Вся трапеция разделена ими на три части. Найдите площадь средней части, если площади крайних равны $S_{1}$ и $S_{2}$.

    Оформление Курьян Е.
    

  • Задача (154) Page

    В трапеции $ABCD$ основание $AB$ равно $a$, а основание $CD$ равно $b$. Найдите площадь трапеции, если известно, что диагонали трапеции являются биссектрисами углов $DAB$ и $ABC$.

    Оформление Лапко Ю.

  • Задача (155) Page

    В равнобедренной трапеции средняя линия равна $a$, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

    Оформление Лапко Ю.

  • Задача (174) Page

    К окружности радиуса $R$ из внешней точки $M$ проведены касательные $MA$ и $MB$, образующие угол $\alpha$. Определите площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей дугой окружности.

    Оформление Захаренкова

  • Задача (177) Page

    Даны три попарно касающиеся окружности радиуса $r$. Найдите площадь треугольника, образованного тремя прямыми, каждая из которых касается двух окружностей и не пересекает третью.

    Оформление Мартынюк А.
    

  • Задача (181) Page

    В прямоугольном $\triangle{ABC}$ катет $CA$ равен $b$. Катет $CB$ равен $a$, $CH$ — высота, $AM$ — медиана. Найти площадь $\triangle{BMH}$.

    Оформление Растюшевского

  • Задача (199) Page

    Найти площадь пятиугольника, ограниченного прямыми $BC, CD, AN, AM$ и $BD,$ где $A, B$ и $D$ — три вершины квадрата $ABCD;$ $N$ — середина стороны $BC$; $M$ делит сторону $CD$ в отношении $2:1$ (считая от вершины $C$), если сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.

    Оформление Д.Васильевой

  • Задача (201) Page

    Дан квадрат со стороной $a$. Найдите площадь правильного треугольника, одна вершина которого совпадает с серединой одной из сторон квадрата, а две другие расположены на диагоналях квадрата.   

    Оформление Войтюшкевич Ю.

  • Задача (202) Page

    На сторонах квадрата $ABCD$ взяты точки $M$, $N$ и $K$, где $M$—середина $AB$; $N$ лежит на стороне $BC$, причём $2BN=NC$; $K$ лежит на $DA$, причём $2DK=KA$. Найдите синус угла между прямыми $MC$ и $NK$. 

    Оформление Михович И.
    

  • Задача (190) Page

    Вокруг трапеции описана окружность. Основание трапеции составляет с боковой стороной угол $\alpha$, а с диагональю — угол $\beta$. Найдите отношение площади круга к площади трапеции. 

  • Задача (191) Page

    В равнобочной трапеции $ABCD$ основание $AD$ равно $a$, основание $BC$ равно $b$, $AB=d$. Через вершину $B$ проведена прямая, делящая пополам диагональ $AC$ и пересекающая $AD$ в точке $K$. Найдите площадь треугольника $BDK$. 

    Оформление Семеновича А.
    

  • Задача (213) Page

    На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$, а на стороне $BC$ — точка $N$, причём $AM=3MB$, а $2AN=NC$. Найдите площадь четырёхугольника $.MBCN$, если площадь треугольника $ABC$ равна $S$.

    Оформление М.Вечер 

  • Задача (222) Page

    В треугольнике $ABC$ известно: $\angle A=\alpha, BA=a, AC=b$. На сторонах $AC$ и $AB$ взяты точки $M$ и $N$, где $M$ — середина $AC$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что площадь треугольника $AMN$ составляет $\ds{\frac{1}{3}}$ площади треугольника $ABC$.

    Оформление Е.Матусевич.

  • Задача (228) Page

    В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AB = BC)$ проведена биссектриса $AD$. Площади треугольников $ABD$ и $ADC$ равны соответственно $S_{1}$ и $S_{2}$. Найдите $AC$.

    Оформление В.Синдаров.

  • Задача (250) Page

    В треугольнике $ABC$ биссектриса $\angle{ABC}$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Известно, что $BC=2$, $KC=1$, $BK=\frac{3 \sqrt2}{2}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

    Оформление В. Волохович

  • Задача 279 Page

    В остроугольном треугольнике $\triangle ABC$ сторона $AC$ равна $3$, высота опущенная на $AC$, равна $4$. В $\triangle ABC$ вписан прямоугольник так, что одна его сторона расположена на $AC$, а две вершины на $AB$ и $BC$. Диагональ прямоугольника равна $3.48$. Найдите площадь прямоугольника.

    Оформление: Важинская Анастасия

  • Задача 281 Page

    Из точки $M$, расположенной внутри треугольника $ABC$, опущены перпендикуляры на его стороны. Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответственно равны $a$ и $k$, $b$ и $m$, $c$ и $n$. Вычислите отношение площади треугольника $ABC$ к площади треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.

    Оформление: Лемешевский Евгений

  • Задача 285 Page

    В треугольнике $ABC$ с периметром $2p$ сторона $AC$ равна $a$, угол $ABC$ равен $\alpha$. Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $O$ касается стороны $BC$ в точке $K$. Найдите площадь треугольника $BOK$.

    Оформление: Чикова Екатерина

  • Задача 286 Page

    Расстояние от точки $M$ до трех вершин прямоугольника равны (последовательно) $3, 5, 4$. Найдите площадь прямоугольника.

    Оформление:  Дятловский Дмитрий
    

  • Задача 289 Page

    На отрезке $AB$ лежат точки $C$ и $D$, причём точка $C$ — между точками $A$ и $D$. Точка $M$ взята так, что прямые $AM$ и $MD$ перпендикулярны и прямые $CM$ и $MB$ также перпендикулярны. Найдите площадь треугольника $AMB$, если известно, что величина угла $CMD$ равна $\alpha$, а площади треугольников $AMD$ и $CMB$ равны $S_1$ и $S_2$ соответственно.

    Оформление: Владислав Бабурин

  • Задача 299 Page

    Точка $M$ удалена от сторон угла в $60^\circ$ на расстояния $\sqrt{3}$ и $3\sqrt{3}$ (основания перпендикуляров, опущенных из $M$  на стороны угла, лежат на сторонах, а не на их продолжениях). Прямая, проходящая через $M$, пересекает стороны угла и отсекает треугольник периметра $12$. Найти площадь этого треугольника.

    Оформление: Евтеев Вадим.

  • Задача 302 Page

    В параллелограмме $ABCD$ острый угол равен $\alpha$. Окружность радиуса $r$ проходит через вершины $A$, $B$ и $C$ и пересекает прямые $AD$ и $CD$ в точках $M$ и $N$. Найдите площадь треугольника $BMN$.

    Оформление: Миковоз Сергей

  • Задача 307 Page

    В окружность радиуса $R$ вписана трапеция. Прямые, проходящие через концы одного основания параллельно боковым сторонам, пересекаются в центре окружности. Боковая сторона видна из центра под углом $\alpha$. Найдите площадь трапеции.

    Оформление: Болбат Дмитрий

  • Задача 316 Page

    В трапецию вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если известны длина $a$ одного из оснований и отрезки $b$ и $d$, на которые разделена точкой касания одна из боковых сторон (отрезок $b$ примыкает к данному основанию $a$).

    Оформление: Буйко Алина

  • Задача 317 Page

    В трапеции диагонали равны $3$ и $5$, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен $2$. Найдите площадь трапеции.

    Оформление: Воробьева Дарья

  • задача 320 Page

    Стороны $AB$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$ перпендикулярны и являются диаметрами двух равных касающихся окружностей радиуса $r$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$, если $BC:AD$ = $k$.

    Оформление: Данилевич Матвей

  • Задача 324 Page

    Найдите площадь ромба $ABCD$, если радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, равны $R$ и $r$.

    Оформление: Иванов Тимофей

  • Задача 328 Page

    В трапеции $ABCD$ дано: $AB = BC = CD = a$, $DA = 2a$. На прямых $AB$ и $AD$ взяты точки $E$ и $F$, отличные от вершин трапеции, так, что точка пересечения высот треугольника $CEF$ совпадает с точкой пересечения диагоналей трапеции $ABCD$. Найдите площадь треугольника $CEF$.

    Оформление: Мисюкевич Дарья

  
• Подобие фигур. Метрические соотношения в треугольнике

  - Toggle

  Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Отношение отрезков. Пропорциональные отрезки. Пропорциональные отрезки на сторонах угла. Деление отрезка пропорционально данным отрезкам. Подобие. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников. Подобные многоугольники. Подобное преобразование многоугольников. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника. Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. Квадрат любой стороны треугольника. Формула для вычисления площади треугольника по трем его сторонам. Отношение площадей подобных многоугольников.

  • Теоретические материалы Book
  • Тест Quiz
  • Задача (166) Page

    На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $AM: MN: NB =1:2:3$. Через точки $M$ и $N$ проведены прямые, параллельные стороне $BC$. Найдите площадь части треугольника, заключенной между этими прямыми, если площадь треугольника $ABC$ равна $S$.

    Оформление К.Ванюк

  • Задача (195) Page

    Окружности радиусов $R$ и $\frac{R}{2}$ касаются друг друга внешним образом. Один из концов отрезка длиной $2R$, образующего с линией центров угол равный $30^{\circ}$ , совпадает с центром окружности меньшего радиуса. Какая часть отрезка лежит вне обоих кругов? (Отрезок пересекает обе окружности).   

    Оформление Желток П.

  • Задача (207) Page

    В прямоугольном треугольнике меньший угол равен $\alpha$. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, делящая треугольник на две равновеликие части. Определите, в каком отношении эта прямая делит гипотенузу.

    Оформление Е.Рак

  • Задача (212) Page

    В треугольнике $ABC$ заданы $AB = c$, $BC = a$, $\angle B = \beta$. На стороне $AB$ взята точка $M$ так, что $2AM = 3MB$. Найдите расстояние от точки $M$ до стороны $AC$.

    Оформление Н.Нупрейчик

  • Задача (233) Page

    В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ таким образом, что расстояние от вершины $B$ до центра тяжести треугольника $AMC$ равно расстоянию от вершины $C$ до центра тяжести треугольника $AMB$. Докажите, что $BM=DC$, где $D$ — основание высоты, опущенной на $BC$ из вершины $A$.

    Оформление Д. Мочалова

  • Задача (236) Page

    Дан треугольник $ABC$. Известно, что $AB = 4$, $AC = 2$ и $BC = 3$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Прямая, проходящая через точку $B$ параллельно $AC$, пересекает продолжение биссектрисы $AK$ в точке $M$. Найдите $KM$.

    Оформление Л. Заровской

  • Задача (248) Page

    Дан угол $\alpha$ ( $\alpha \lt 90^\circ$) с вершиной $O$. На одной его стороне взята точка $M$ и восставлен перпендикуляр в этой точке до пересечения с другой стороной в точке $N$. Точно так же в точке $K$ на другой стороне восставлен перпендикуляр до пересечения с первой стороной в точке $P$. Пусть точка $B$ есть точка пересечения прямых $MN$ и $KP$, а точка $A$ есть точка пересечения прямых $OB$ и $NP$. Найти $OA$, если $OM=a$ и $OP=b$.

    Оформление В. Травина

  • Задача (251) Page

    В треугольнике $ABC$ высота $BD$ равна $6$, медиана $CE$ равна $5$. Расстояние от точки пересечения отрезков $BD$ и $CE$ до стороны $AC$ равно $1$. Найдите сторону $AB$.

    Оформление Гаель Павел

  • Задача (260) Page

    В треугольнике $ABC$ из вершин $A$ и $C$ на стороны $BC$ и $AB$ опущены высоты $AP$ и $CK$. Найдите сторону $AC$, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен $15$, периметр треугольника $BPK$ равен $9$, а радиус окружности, описанной около треугольника $BPK$, равен $1.8$.

    Оформление Москаленко Илья

  • Задача (262) Page

    Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ треугольника $ABC$ равна биссектрисе внешнего угла при вершине $A$ и равна стороне $AB$. Найдите углы треугольника $ABC$. (Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ есть отрезок биссектрисы угла , смежного с $B$, ограниченный точкой $B$ и точкой пересечения с прямой $AC$.)

    Оформление Таруть Елизавета

  • Задача 276 Page

    Угол $A$ треугольника $ABC$ равен $\alpha$, $AB<AC$; точка $D$ взята на стороне $AC$ так, что $CD=AB$, $M$ — середина $AD$, $N$ — середина $BC$. Найдите $\angle{NMC}$.

    Оформление: Сардыко Максим

  • Задача 280 Page

    $AB$ — хорда окружности, $l$ — касательная к окружности, $C$ — точка касания. Расстояния от $A$ и $B$ до $l$ равны соответственно $a$ и $b$. Найдите расстояние от $C$ до $AB$.

    Оформление: Кушарева Евгения

  • Задача 310 Page

    Через точку $M$ внутри треугольника $ABC$ проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Отрезки прямых, заключенные внутри треугольника, равны между собой. Найдите длины этих отрезков, если стороны треугольника равны $a, b, c$.

    Оформление: Микулич Владислав

  • Задача 312 Page

    В треугольнике  $ABC$  проведены медиана $AD$, $\angle DAC + \angle ABC = 90^\circ \$. Найдите $\angle BAC$, если известно что $AB\neq AC$.

    Оформление: Павлов Кирилл

  • Задача 314 Page

    В равностороннем треугольнике $ABC$ сторона равна $a$. На стороне $BC$ лежит точка $D$, на стороне $AB$ — точка $E$ так, что $BD = \frac{a}{3}, AE = DE$. Найдите $CE$.

    Оформление: Бондарчик Альбина

  • Задача 315 Page

    В прямоугольном треугольнике  $ABC$  из вершины прямого угла  $C$  проведены биссектриса  $CL$ $(CL = a)$  и медиана  $CM$ $(CM = b)$. Найдите площадь треугольника  $ABC$.

    Оформление: Циркунов Владислав

  • Задача 322 Page

    В треугольнике $ABC$ на средней линии $DE$, параллельной $AB$,  как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$. Найдите $MN$, если $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

    Оформление: Зарудко Игнат

  • Задача 325 Page

    Даны угол величины $\alpha$‎ с вершиной в $A$ и точка $B$ на расстоянии $a$ и $b$ от сторон угла. Найдите $AB$.

    Оформление: Колодич Антон

  • Задача 326 Page

    Даны $h_a$ и $h_b$ — высоты треугольника $ABC$, опущенные из вершин $A$ и $B$, и длина $l$ биссектрисы угла $C$. Найдите угол $C$.

    Оформление: Крайний Эдвард

  
• Окружность и круг

  - Toggle

  Окружность. Центральные углы. Зависимость между дугами и хордами. Диаметр, перпендикулярный к хорде. Дуги между параллельными хордами. Касательная к окружности. Измерение центральных и вписаных углов. Другие углы, связанные с окружностью. Пропорциональные отрезки в круге. Длина окружности и дуги. Площадь круга и его частей.

  • Теоретические материалы Book
  • Задача (5) Page

    Около окружности описана трапеция. Доказать, что концы боковой стороны трапеции и центр окружности являются вершинами прямоугольного треугольника. Доказать, что произведение отрезков боковой стороны, на которые она разделена точкой касания, равно квадрату радиуса окружности.

    Оформление Сысуна Ф.

  • Задача (6) Page

    Около круга описан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $E$. Радиусы окружностей, описанных около треугольников $AEB$, $BEC$ и $CED$ равны соответственно $R_1$, $R_2$ и $R_3$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $AED$ ( $R_4$).

    Оформление Билевич Т.

  • Задача (8) Page

    В треугольнике $ABC$ проведена высота $BN$. Точка $O$ — центр описанной около $ABC$ окружности. Докажите, что $\angle{OBC}=\angle{NBA}$.

  • Задача (9) Page

    В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $AA_1$. Точка $O$ — центр описанной около $ABC$ окружности. Докажите, что прямые $A_1B_1$ и $CO$ перпендикулярны.

  • Задача (11) Page

    Окружность проходит через вершины $B$, $C$ и $D$ трапеции и касается боковой стороны $AB$ в точке $B$. Найти длину диагонали $BD$, если длины оснований равны 2 и 8.

    Оформление Волотовцевой П.

  • Задача (15) Page

    В трапеции $ABCD$ заданы основания $BC=20$, $AD=30$ и боковые стороны $AB=6$, $CD=8$. Найти радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$, и касающейся стороны $CD$ или ее продолжения.

    Оформление Углик Ю.

  • Задача (16) Page

    Сторона $AB$ квадрата $ABCD$ равна $1$ и является хордой некоторой окружности, причем остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной $CK$, проведенной из вершины $C$ к той же окружности, равна $2$. Найти диаметр окружности.

    Разработчик Наганович А.

  • Задача (17) Page

    В равнобедренном треугольнике $ABC$ $AB=BC=a$, $\angle ABC=\alpha$. Полуокружность с центром на стороне $AC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Касательная к этой полуокружности в точке $M$ пересекает сторону $AB$ в точке $F$, а сторону $BC$ в точке $G$. Найти периметр треугольника $BFG$.

    Разработчик Турчиняк А.

  • Задача (18) Page

    В окружности радиуса $R$ проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$. Найти расстояние $AC$ , если $BD=a$.

    Разработчик Погирейчик О.

  • Задача (19) Page

    Отрезок $AB$ есть диаметр круга, точка $C$ лежит вне этого круга. Отрезки $AC$ и $BC$ пересекаются с окружностью в точках $D$ и $E$ соответственно. Найти $\angle CBD$, если площади треугольников $ABC$ и $DCE$ относятся как $4 : 1$.

    Разработчик Куксанов И.

  • Задача (20) Page

    Пусть две окружности радиусов $R$ и $r$ касаются внешним образом. Найти длину отрезка внешней касательной, заключенного между точками касания, и синус угла между их внешней касательной и линией центров.

    Разработчик Марченко О.

  • Задача (21) Page

    Две окружности радиусов $R$ и $r$ внешне касаются. Найти площадь круга, который касается данных окружностей и их внешней касательной.

    Разработчик Каленик К.

  • Задача (22) Page

    Три равных окружности радиуса $r$ попарно касаются. Найти площадь($S$) $\bigtriangleup{ABC}$, который образован общими внешними касательными к этим окружностям.

    Разработчик Бураковский Э.

  • Задача (23) Page

    На отрезке $AC$ длиной $a$ отмечена точка $B$ так, что $AB=b$ . На отрезках $AB$ и $AC$ как на диаметрах в одной полуплоскости с границей $AC$ построены полуокружности. Найти радиус окружности, которая касается построенных полуокружностей и $AC$ .

    Разработчик Осипова А.

  • Задача (24) Page

    Три окружности касаются внешне попарно. Две из них имеют радиусы, равные $3$, а одна — $1$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, где $A$, $B$ и $C$ — точки касания.

    Разработчик Гуща Е.

  • Задача (25) Page

    Вне окружности радиуса $R$ взята точка $A$, из которой проведены две секущие: одна из них проходит через центр, а вторая – на расстоянии $R/2$ от центра. Найти площадь части круга, расположенной между этими двумя секущими.

  • Задача (30) Page

    Докажите, что для любого $\bigtriangleup{ABC}$ расстояние от вершины до точки пересечения высот (ортоцентра) вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

  • Задача (142) Page

    В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $AC$ взята точка $M$ так, что $AM=a, MC=b$. В треугольнике $ABM$ и $CBM$ вписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей со стороной $BM$.

    Оформление Бойко Д.

  • Задача (143) Page

    В ромб с высотой $h$ и острым углом $\alpha$ вписана окружность. Найдите радиус наибольшей из двух возможных окружностей, каждая из которых касается данной окружности и двух сторон ромба.

  • Задача (147) Page

    Две окружности $I$ и $II$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведены хорды $AC$ и $AD$, касающиеся данных окружностей. Доказать, что $AC^2\cdot{DB}=AD^2\cdot{BC}$.

  • Задача (148) Page

    На окружности радиуса $r$ выбраны три точки таким образом,что окружность оказалась разделённой на три дуги, длины которых относятся как 3:4:5. В точках деления к окружности проведены касательные. Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными.

    Оформление Василенко Ю.

  • Задача (149) Page

    Около окружности описана равнобочная трапеция с боковой стороной $l$, одно из оснований которой равно $a$. Найдите площадь трапеции.

    Оформление Василенко Ю.

  • Задача (156) Page

    Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна $S$, а высота трапеции в два раза меньше ее боковой стороны. Определите радиус вписанной в трапецию окружности .

    Оформление Евтух В.

  • Задача (160) Page

    Дан полукруг с диаметром $AB$. Через середину полуокружности проведены две прямые, делящие полукруг на три равновеликие части. В каком отношении эти прямые делят диаметр $AB$?

    Оформление Н.Реут

  • Задача (161) Page

    Дан квадрат $ABCD$, сторона которого равна $a$, и построены две окружности. Первая окружность целиком расположена внутри квадрата $ABCD$, касается стороны $AB$ в точке $E$, а также касается стороны $BC$ и диагонали $AC$. Вторая окружность с центром в точке $A$ проходит через точку $E$. Найдите площадь общей части двух кругов, ограниченных этими окружностями.

  • Задача (162) Page

    Вершины правильного шестиугольника со стороной $a$ являются центрами окружностей, радиусы которых равны $\frac{a}{\sqr{2}}$. Найдите площадь части шестиугольника, расположенной вне окружностей.

  • Задача (163) Page

    Вне окружности радиуса $R$ взята точка $A$, из которой проведены две секущие: одна из них проходит через центр, а вторая — на расстоянии $\frac{R}{2}$ от центра. Найти площадь части круга, расположенной между этими двумя секущими.

    Оформление Я.Колоско

  • Задача (164) Page

    Дан полукруг с диаметром $AB$. Через середину полуокружности проведены две прямые, делящие полукруг на три равновеликие части. В каком отношении эти прямые делят диаметр $AB$?

    Оформление Рисевец

  • Задача (167) Page

    Дана окружность и точка $A$ вне её, $AB$, $AC$ $-$ касательные к окружности ($B$, $C$ $-$ точки касания). Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, лежит на данной окружности.

    Оформление Мартынюк А.
    

  • Задача (168) Page

     Вокруг равностороннего треугольника $ABC$ описана окружность и на дуге $BC$ взята произвольная точка $M$. Докажите, что $AM=BM+CM$.

  • Задача (171) Page

    Квадрат со стороной $a$ вписан в окружность. Найдите сторону квадрата, вписанного в один из полученных сегментов.

  • Задача (172) Page

    В сегмент с дугой $120$° и высотой $h$ вписан прямоугольник $ABCD$ так, что $AB:BC=1:4$ ($BC$ лежит на хорде). Найдите площадь прямоугольника.

    Оформление Скитюк А.

  • Задача (173) Page

    Площадь кругового кольца равна $S$. Радиус большей окружности равен длине меньшей. Найдите радиус меньшей окружности.

    Оформление Метельской Т.

  • Задача (176). Page

    Дан ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Найдите радиус окружности, проходящей через две соседние вершины ромба и касающейся противоположной стороны ромба или её продолжения.

  • Задача (178) Page

    Окружность радиуса $r$ касается некоторой прямой в точке $M$. На этой прямой по разные стороны от $M$ взяты точки $A$ и $B$ так, что $MA=MB=a$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся данной окружности.

  • Задача (179) Page

    Дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$. На стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM=3MC$, а на стороне $CD$ — точка $N$ так, что $2CN=ND$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $AMN$.

    Оформление Д.Татур

  • Задача (182) Page

    В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A=\alpha >90^\circ$ и $BC=a$. Найдите расстояние между точкой пересечения высот и центром описанной окружности.

  • Задача (183) Page

    Вокруг треугольника $ABC$, в котором $BC=a$, $\angle B=\alpha$, $\angle C=\beta$, описана окружность. Биссектриса угла $A$ пересекает окружность в точке $K$. Найдите $AK$.

  • Задача (184) Page

    В окружности радиуса $R$ проведён диаметр и на нём взята точка $A$ на расстоянии $a$ от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке $A$ и изнутри касается данной окружности.  

  • Задача (185) Page

    В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три равные части. Найдите радиус окружности, если одна из хорд равна ${a}$. 

    Оформление Носко А.
    

  • Задача (186) Page

    Один правильный шестиугольник вписан в окружность, а другой описан около нее. Найдите радиус окружности, если разность периметров этих шестиугольников равна $a$.

    Оформление Кузнецовой В.
    

  • Задача (188) Page

    Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ известны углы: $\angle DAB = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle BKC = \gamma$, где $K$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $\angle ACD$. 

    Оформление Филинкова В.
    

  • Задача (189) Page

    Во вписанном четырехугольнике $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $K$, известно, что $AB=a$, $BK=b$, $AK=c$, $CD=d$. Найти $AC$.

    Оформление Кузнецовой В.

  • Задача (192) Page

    Найдите сумму квадратов расстояний от точки $M$,взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд, если радиус окружности равен $R$,а расстояние от точки $M$ до центра окружности равно $a$.

    Оформление Андреевой Е.

  • Задача (193) Page

    Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами $90^o$ и $60^o$ . Найдите радиусы окружностей, если расстояние между центрами равно $a$ . 

    Оформление Григорьевой В.

  • Задача (194) Page

    Дан правильный треугольник $ABC$. Точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении $2:1$, а точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $1:2$ (считая в обоих случаях от вершины $A$). Доказать, что длина отрезка $KM$ равна радиусу окружности, описанной около треугольника $ABC.$.

    Оформление Бриштаня Ф.

  • Задача (200) Page

    В треугольнике ABC даны: $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$. Окружность с центром в $B$ проходит через точку $A$ и пересекает прямую $AC$ в точке $K$, отличной от $A$, а прямую $BC$ — в точках $E$ и $F$. Найдите углы треугольника $EKF$. 

    Оформление Лешина М.

  • Задача (206) Page

    Сторона $AB$ квадрата $ABCD$ равна $1$ и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной $CK$, проведенной из вершины $C$ к той же окружности, равна $2$. Чему равен диаметр окружности?

    Оформление Е.Конончук

  • Задача (209) Page

      В прямоугольном треугольнике $ABC$ с острым углом $A$, равным $30^\circ$, проведена биссектриса $BD$ другого острого угла. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $CBD$, если меньший катет равен $1$.

    Оформление Андреевой Е.

  • Задача (211) Page

    В треугольнике $ABC$  известно, что $BC=a$, $\angle A= \alpha$, $\angle B= \beta$. Найдите радиус окружности, касающейся стороны $AC$ в точке $A$ и касающейся стороны $BC$.

    Оформление В.Жиленковой

  • Задача (214) Page

    Даны две концентрические окружности радиусов $R$ и $r$ $(R>r)$ с общим центром $O$. Третья окружность касается их обеих. Найдите тангенс угла между касательными к третьей окружности, выходящими из точки $O$.

    Оформление М.Калининой

  • Задача (216) Page

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$. Центры трёх окружностей радиуса $\displaystyle \frac{c}{5}$ находятся в его вершинах. Найдите радиус четвёртой окружности, которая касается трёх данных и не содержит их внутри себя.

    Оформление Лагутина О.

  • Задача (217) Page

    Найдите радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла, равного $\alpha$, хорды, равные $a$, если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно $b$.

    Оформление М.Шапрунов.

  • Задача (218) Page

    На стороне $BC$ треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите площадь треугольника $AMN$, если площадь треугольника $ABC$ равна $S$ и $\angle BAC=\alpha$.

    Оформление Федукович Ю.

  • Задача (219) Page

    В окружности радиуса $R$ проведены две взаимно перпендикулярные хорды $MN$ и $PQ$. Найдите расстояние между двумя точками $M$ и $P$, если $NQ=a$.

    Оформление Куницы В.

  • Задача (225) Page

    Во вписанном в окружность четырёхугольнике две противоположные стороны взаимно перпендикулярны, одна из них равна $\displaystyle a$, прилежащий к ней угол делится диагональю на части $\alpha$ и $\beta$ (угол $\alpha$ прилежит к данной стороне). Определите диагонали четырёхугольника.

    Оформление А.Бежок.

  • Задача (229) Page

    Окружность радиуса $r$ вписана в угол величены $\alpha$. Другая окружность радиуса $R$ касается одной стороны угла в той же точке, что и первая, пересекая вторую сторону угла в точках $A$ и $B$. Найдите $AB$.

    Оформление У.Прокопенко.

  • Задача (230) Page

    На прямой, проходящей через центр $O$ окружности радиуса $12$, взяты точки $A$ и $B$, причём $OA = 15$, $AB = 5$ и $A$ лежит между $O$ и $B$. Из точки $A$ и $B$ проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой $OB$. Найдите площадь  $\triangle ABC$, где $C$ — точка пересечения этих касательных.

    Оформление В.Солтан.

  • Задача (231) Page

    В треугольнике $ABC$ известны сторона $BC=a$, углы $A=\alpha$ и $B=\beta$. Найти радиус окружности, пересекающей все его стороны и высекающей на каждой из них хорды длины $d$.

    Оформление С. Кимельфельд

  • Задача (234) Page

    Условие задачи: В прямоугольном $\triangle ABC$ биссектриса $BE$ прямого угла $B$ делится центром $O$ вписанной окружности так, что $BO:OE=\sqrt{3}:\sqrt{2}$. Найдите острые углы треугольника.

    Оформление Д. Сидоренко

  • Задача (235) Page

    На отрезке $AB$ длины $R$ как на диаметре построена окружность. Вторая окружность такого же радиуса, что и первая, имеет центр в точке $A$. Третья окружность касается первой внутренним образом, второй — внешним образом, а также касается отрезка $AB$. Найти радиус третьей окружности.

    Оформление В. Кохана

  • Задача (237) Page

    Окружность с центром, расположенным внутри прямого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках $A$ и $B$ и пересекает биссектрису угла в точках $C$ и $D$. Хорда $AB$ равна $\sqrt{6}$, хорда $CD$ равна $\sqrt{7}$. Найдите радиус окружности.

    Оформление А. Мелешкиной

  • Задача (238) Page

    В параллелограмме лежат две окружности радиуса $1$, касающиеся друг друга и трёх сторон параллелограмма каждая. Известно также, что один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен $\sqrt{3}$. Найдите площадь параллелограмма.

    Оформление А. Стариковой

  • Задача (239) Page

    Окружность радиуса $R$ проходит через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ и касается прямой $AC$ в точке $A$. Найдите площадь треугольника, зная, что $\angle A= \alpha$ , $\angle B= \beta$.

    Оформление К. Крячевой

  • Задача (240) Page

    В треугольнике $ABC$ биссектриса $AK$ перпендикулярна медиане $BM$, а угол $ABC$ равен $120^\circ$. Найдите отношение площади треугольника $ABC$ к площади описанного около этого треугольника круга.

    Оформление Д. Кондратюк

  • Задача (241) Page

    В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ через середины сторон $AB$ и $AC$ проведена окружность, касающаяся стороны $BC.$ Найти ту часть гипотенузы $AC,$ которая лежит внутри этой окружности, если $AB=3,$ $BC=4.$

    Оформление А. Бобришевой

  • Задача (242) Page

    Дан отрезок $a$. Три окружности радиуса $R$ имеют центры в концах отрезка и в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.

    Оформление Филимонов Дмитрий

  • Задача (243) Page

    Найдите угол общей внешней касательной и общей внутренней касательной к двум окружностям, если их радиусы равны $R$ и $r$, а расстояние между их центрами равно $\sqrt{2(R^{2}+r^{2})}$ $(R\geq{r})$ .

    Оформление А. Зеленковской

  • Задача (244) Page

    Отрезок $AB$ есть диаметр круга, точка $C$ лежит вне этого круга. Отрезки $AC$ и $BC$ пересекаются в точках $D$  и $E$ соответственно. Найдите угол $CBD$, если площади треугольников $DCE$ и $ABC$ относятся как $1:4$.

    Оформление Д.Зыля

  • Задача (246) Page

    Дана окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$. Из конца отрезка $OA$, пересекающегося с окружностью в точке $M$, проведена касательная $AK$ к окружности. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков $AK$, $AM$ и дуги $MK$, если $\angle{OAK}= 60^\circ$.

    Оформление А. Карповой

  • Задача (247) Page

    В окружность вписан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=BC$ и $\angle{B}=\beta$. Средняя линия треугольника продолжена до пересечения с окружностью в точках $D$ и $E$ $(DE\|AC)$. Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $DBE$.

    Оформление М, Климович

  • Задача (249) Page

    Две окружности радиусов $R$ и $r$ касаются сторон данного угла и друг друга. Найдите радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, центр которой находится в точке касания данных окружностей между собой.

    Оформление С. Гавлас

  • Задача (253) Page

    Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.

    Оформление Куница Виктория

  • Задача (254) Page

    Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая, параллельная линии центров, пересекает отрезок $AB$ и пересекает окружность в точках $M$, $N$, $P$ и $Q$ ($N$ и $P$ — на отрезке $MQ$). Докажите, что величина $MQ-NP$ не зависит от положения прямой.

    Оформление Кураленко Илья

  • Задача 274 Page

    Сторона $BC$ треугольника $ABC$ равна $4$, сторона $AB$ равна $2 \sqrt{19}$. Известно, что центр окружности проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла $C$. Найдите $AC$.

    Оформление: Афанасьева Вероника

  • Задача 275 Page

    В треугольнике $ABC$ высота, опущенная на сторону $AC$, равна $1$, $\angle ABC = 140^{ \circ}$. Найдите площадь общей части треугольника и круга с центром $B$ и радиуса $\sqrt{2}$.

    Оформление: Богдан Виктор

  • Задача 282 Page

    В окружность радиуса $10$ с центром в точке $O$ вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ которого перпендикулярны и равны $12$ и $10\sqrt{3}$ соответственно. Найти стороны четырехугольника $ABCD$.

    Оформление: Лиханова Ксения

  • Задача 288 Page

    В окружность радиуса $R$ вписан треугольник. Вторая окружность, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух сторон на три равные части. Радиус второй окружности $r$. Найдите $\dfrac{r}{R}$.

    Оформление: Мельников Максим

  • Задача 290 Page

    Расстояние между центрами непересекающихся окружностей равно $a$. Докажите, что точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности, и найдите ее радиус.

    Оформление: Димидюк Кирилл

  • Задача 291 Page

    Докажите, что отрезок общей внешней касательной к двум окружностям, заключённый между общими внутренними касательными, равен длине общей внутренней касательной.

    Оформление: Лишко Дмитрий

  • Задача 292 Page

    В окружности с центром  $O$ проведены два взаимно перпендикулярных радиуса $OA$ и $OB$, точка $C$ — точка на дуге $AB$, такая, что $\angle AOC=60^{ \circ}$ ($\angle BOC=30^{ \circ}$). Окружность с центром $A$ и радиусом $AB$ пересекает продолжение $OC$  за точку $C$ в точке $D$.  Докажите, что отрезок $CD$ равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность. Возьмем теперь точку $M$, диаметрально противоположную точке $C$. Отрезок $MD$, увеличенный на $\dfrac {1}{5}$ своей длины, принимается приближенно равным полуокружности. Оцените погрешность этого приближенного равенства.

    Оформление: Манкевич Ксения

  • Задача 295 Page

    $ABCD$ $-$ прямоугольник, в котором $AB = 9, BC = 7$. На стороне $CD$ взята точка $M$, так что $CM = 3$, а на стороне $AD$ $-$ точка $N$, так что $AN = 2,5$. Найдите радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри пятиугольника $ABCMN$?

    Оформление: Примова Инна

  • Задача 303 Page

    Окружность, проходящая  через вершины $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$, пересекает прямые $AD$ и $CD$ в точках $M$ и $N$. Точка $M$ удалена от вершин $B$, $C$ и $D$ соответственно  на расстояния $4$, $3$ и $2$. Найдите $MN$.

    Оформление: Гончаров Александр

  • Задача 305 Page

    О равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $\angle ABC=120^\circ$. Найдите общую хорду окружности, описанной около треугольника $ABC$, и окружности, проходящей через центр вписанной окружности и основания биссектрис углов $A$ и $C$ , если $AC=1$.

    Оформление: Ерошкин Павел

  • Задача 308 Page

    Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $c$. В каких пределах может меняться расстояние между центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан?

    Оформление: Каптюг Евгений

  • Задача 311 Page

    В треугольник $ABC$ помещены три равные окружности, имеющие одну общую точку. При этом каждая окружность касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $r$ и $R$.

    Оформление: Окунев Павел

  • Задача 318 Page

    Окружность радиуса $1$ вписана в треугольник $ABC$, в котором $\cos \angle B= 0,8$. Эта окружность касается средней линии треугольника $ABC$, параллельной стороне $AC$. Найдите длину стороны $AC$.

    Оформление: Гаврук Александр

  • Задача 319 Page

    Дан правильный треугольник $ABC$ площади $S$. Параллельно его сторонам на равном расстоянии от них проведены три прямые, пересекающиеся внутри треугольника и образующие в пересечении треугольник $A_1B_1C_1$ площади $Q$. Найдите расстояние между параллельными сторонами треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

    Оформление: Грищенко Дарья

  • Задача 321 Page

    В угол, величина которого $\alpha$, вписаны две касающиеся друг друга окружности. Определите отношение радиуса меньшей окружности к радиусу третьей окружности, касающиеся первых двух и одной из сторон угла.

    Оформление: Жаврид Мария

  • Задача 323 Page

    Расстояние между центрами двух окружностей равно $a$. Найдите сторону ромба, две противоположные вершины которого лежат на одной окружности, а две оставшиеся — на другой, если радиусы этих окружностей равны $R$ и $r$.

    Оформление: Иванов Владислав

  • Задача 327 Page

    Около прямоугольного треугольника описана окружность. Другая окружность того же радиуса касается катетов этого треугольника, причём одной из точек касания является вершина треугольника. Найдите отношение площади треугольника к площади общей части двух данных кругов.

    Оформление: Кривицкая Полина

  • Задача 329 Page

    Около окружности описана трапеция $ABCD$, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, $M$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Площадь треугольника $CMD$ равна $S$. Найдите радиус окружности.

    Оформление: Мурзич Артем

  
• Правильные многоугольники

  - Toggle

  Правильные многоугольники. Выражение стороны через радиус. Построение вписанных и описанных окружностей. Подобие правильных многоугольников. Отношение их периметров. Площадь правильного многоугольника.

  • Теоретические материалы Book
  • Задача (205) Page

    В окружность радиуса $R$ вписан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ACD$.

    Оформление А.Робец

  • Задача (223) Page

    Найдите углы ромба, если площадь вписанного в него круга вдвое меньше площади ромба.

    Оформление Г.Курто.

  • Задача (224) Page

    Найдите площадь общей части двух квадратов, если у каждого сторона равна $a$ и один получается из другого поворотом вокруг вершины на угол $45^{\circ}$.

    Оформление А.Ковальчук.

  • Задача (258) Page

    В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ известны углы:  $\angle A=\alpha, \angle C= \beta, AB>BC.$   На стороне  $AB$  взята точка  $K$  так, что  $BK=BC$, а на отрезке  $CK$ — точка  $M$  так, что  $DM=DC$ . Найдите   $\angle MDA$.

    Оформление Матюшкова Алёна

  • Задача 293 Page

    Дан прямоугольник со сторонами 7 и 8. Одна вершина правильного треугольника совпадает с вершиной прямоугольника, а две другие находятся на его сторонах, не содержащих этой вершины. Найдите площадь правильного треугольника.

    Оформление: Москалик Александр

  • Задача 294 Page

    Найти радиус наименьшей окружности, содержащей равнобочную трапецию с основаниями $15$ и $4$ и боковыми сторонами, равными $9$.

    Оформление: Нитиевский Дмитрий

  • Задача 298 Page

    Точка $M$ удалена от сторон правильного треугольника (от прямых, на которых расположены его стороны) на расстояния $2$, $3$ и $6$. Найдите сторону правильного треугольника, если известно, что его площадь меньше $14$.

    Оформление: Усович Юрий

  • Задача 300 Page

    Дан прямоугольник $ABCD$, в котором $AB=4$, $BC=3$. Найдите сторону ромба, одна вершина которого совпадает с точкой $A$, а три другие лежат по одной на отрезках $AB$, $BC$ и $DB$.

    
    Оформление: Ажевский Павел

  • Задача 301 Page

    Дан квадрат $ABCD$ со стороной $1$. Найдите сторону ромба, одна вершина которого совпадает с точкой $A$, противоположная вершина лежит на прямой $BD$, а две оставшиеся — на прямых $BC$ и $CD$.

    Оформление: Волынец Владислав

  • Задача 313 Page

    В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, сторона которого лежит на основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают.

    Оформление: Таранов Андрей

  
• Прямые и плоскости в пространстве

  - Toggle

  Пространственные фигуры и их изображение на плоскости. Скрещивающиеся прямые. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Угол двух скрещивающихся прямых. Наклонные и их проекции на плоскость. Угол наклонной с плоскостью . Теоремы о трёх перпендикулярах. Зависимость между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей. Двугранный угол и его линейный угол. Перпендикулярность плоскостей.

  • Теоретические материалы Book
  • Тест Quiz
  • Задача S5 Page

    Докажите, что площадь проекции многоугольника, расположенного в плоскости $p_1$, на плоскость $p_2$ равна $S \cos{\alpha}$ где $S$ — площадь многоугольника, $\alpha$ — угол между плоскостями $p_1$ и $p_2$.

    Оформление: Поздняков Иван

  • Задача S7 Page

    Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы, образованные произвольной прямой с тремя попарно перпендикулярными прямыми. Докажите, что $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$.

    Оформление: Сидорова Алина

  • Задача S15 Page

    Докажите, что сумма плоских углов трехгранного угла меньше $2\pi$, а сумма двугранных углов больше $\pi$.

    Оформление: Черкасов Роман

  • Задача S16 Page

    Пусть плоские углы трёхгранного угла равны $\alpha, \beta$ и $\gamma$, а противолежащие им двугранные углы — $A, B$ и $C$. Докажите, что справедливы следующие равенства:
    1) $\dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{A}} = \dfrac{\sin{\beta}}{\sin{B}} = \dfrac{\sin{\gamma}}{\sin{C}}$ (теорема синусов для трёхгранного угла);
    2) $\cos{\alpha} = \cos{\beta}\cos{\gamma} + \sin{\beta}\sin{\gamma}\cos{A}$ (1-я теорема косинусов для трёхгранного угла);
    3) $\cos{A} = -\cos{B}\cdot\cos{C} + \sin{B}\cdot\sin{C}\cos{\alpha}$ (2-я теорема косинусов для трёхгранного угла).

    Оформление: Захаренко Арсен

  • Задача S17 Page

    Найдите геометрическое место середин отрезков, параллельных данной плоскости, концы которых находятся на двух скрещивающихся прямых.

    Оформление: Ковалев Павел

  
• Многогранники и тела вращения

  - Toggle

  Многогранник. Призма. Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. Пирамида. Усеченная пирамида. Параллельные сечения в пирамиде. Цилиндр. Конус. Усеченный конус. Поверхность призмы. Поверхность пирамиды. Поверхность усеченной пирамиды. Поверхность цилиндра. Поверхность конуса. Поверхность усеченного конуса. О решении задач на вычисление по стереометрии. Задача.

  • Теория Book
  • Тест Quiz
  • Задача S2 Page

    Докажите, что в правильной треугольной пирамиде противоположные ребра попарно перпендикулярны.

    Оформление: Пархоменко Георгий

  • Задача S3 Page

    Докажите, что если боковые ребра пирамиды равны между собой, то в основании пирамиды лежит многоугольник, около которого можно описать окружность, и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.

    Оформление: Петрушина Ева

  • Задача S4 Page

    Докажите, что если все двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то в основании пирамиды лежит многоугольник, в который можно вписать окружность, и вершина пирамиды проецируется в центр окружности.

    Оформление: Секушин Никита

  • Задача S10 Page

    Докажите, что плоскость, делящая пополам двугранный угол при каком-либо ребре тетраэдра, делит противоположное ребро на части, пропорциональные площадям граней, заключающих этот угол.

    Оформление: Смоленский Захар

  • Задача S13 Page

    Докажите, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке(центре тяжести тетраэдра) и делятся в ней в отношении 3:1(считая от вершин). Докажите также, что в этой же точке пересекаются и делятся пополам отрезки, соединяющие середины противоположных ребер.

    Оформление: Суражев Кирилл

  • Задача S14 Page

    Докажите, что если отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, равны между собой, то противоположные ребра попарно перпендикулярны.

    Оформление: Торч Илья

  • Задача S21 Page

    Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны $4$, $5$ и $6$. Найдите площадь наибольшего сечения, проходящего через два параллельных не лежащих в одной грани ребра параллелепипеда.

    Оформление: Красин Фёдор

  • Задача S24 Page

    Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведено сечение, параллельное двум скрещивающимся ребрам этой пирамиды. Найдите площадь этого сечения, если сторона основания равна $a$, боковое ребро равно $b$.

    Оформление: Рабец Владислав

  • Задача S25 Page

    Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $\ a$. Постройте сечение куба плоскостью и найдите площадь сечения, если:
    а) плоскость проходит через вершины $\ A$ и $\ D_{1}$ и середину ребра $\ BB_{1}$;
    б) плоскость проходит через вершину $\ A$ и параллельна плоскости $\ DBC_{1}$;
    в) плоскость проходит через середины рёбер $\ AB$, $\ BB_{1}$, $\ B_{1}C_{1}$.

    Оформление: Рыбин Святослав.

  • Задача S35 Page

    Определите вид многоугольника, являющегося ортогональной проекцией куба на плоскость:
    a) перпендикулярную диагонали его грани;
    б) перпендикулярную диагонали куба.
    Найдите площадь этой проекции, если ребро куба равно $a$.

    Оформление: Галынин Владислав

  • Задача S33 Page

    Найдите угол:
    а) между двумя диагоналями куба;
    б) между диагональю куба и непересекающейся с ней диагональю грани.

    Оформление: Вербицкий Максим

  • Задача S35 Page

    Определите вид многоугольника, являющегося ортогональной проекцией куба на плоскость:
    a) перпендикулярную диагонали его грани;
    б) перпендикулярную диагонали куба.
    Найдите площадь этой проекции, если ребро куба равно $a$.

    Оформление: Галынин Владислав

  • Задача S36 Page

    Все рёбра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите угол между плоскостью основания этой призмы и плоскостью, проходящей через противоположные вершины боковой грани и середину противолежащего этой грани бокового ребра.

    Оформление: Голуб Сергей

  • Задача S37 Page

    Сторона основания правильной треугольной призмы равна $6$, боковое ребро равно $4$. Найдите площадь сечения, проходящего через две вершины одного основания призмы и середину стороны другого основания (не совпадающего с боковой гранью призмы).

    Оформление: Григорьев Егор

  • Задача S40 Page

    Основания двух правильных треугольных пирамид расположены в одной плоскости. Сторона основания и высота одной равны $3$ и $2$ , другой, наоборот, $2$ и $3$. Плоскость, параллельная основаниям, пересекает эти пирамиды по равным треугольникам. Найдите площади этих сечений.

    Оформление: Носевич Ирина

  • Задача S42 Page

    Угол при вершине осевого сечения конуса равен $150^\circ$. Через вершину конуса проведено сечение, являющееся прямоугольным треугольником. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

    Оформление: Привалов Даниил

  • Задание S49 Page

    Докажите, что рисунок, изображающий треугольную пирамиду, в которой проведено сечение, неверен.

    Оформление: Дятловская Елизавета

  • Задача S50 Page

    На каждом из рисунков а) и  б) изображена проекция (ортогональная) какого-то многогранника (вид сверху, невидимые рёбра отсутствуют). Докажите, что многогранники, проекции которых изображены, невозможны.

    Оформление: Журавлёва Мария

  
• Объемы многогранников и тел вращения

  - Toggle

  Измерение объемов. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямого и наклонного параллелепипедов. Объем призмы. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды. Объем цилиндра. Объем конуса. Объем усеченного конуса.

  • Теоретические материалы Book
  • Тест Quiz
  • Задача S6 Page

    Даны три прямые, проходящие через одну точку $A$. Пусть $B_1, B_2$ — две точки на одной прямой, $C_1, C_2$ — на второй, $D_1, D_2$ — на третей. Докажите, что $\dfrac{V_{AB_1C_1D_1}}{V_{AB_2C_2D_2}} = \dfrac{AB_1\cdot AC_1\cdot AD_1}{AB_2\cdot AC_2\cdot AD_2}$.

    Оформление: Рабащенко Владислав

  • Задача S8 Page

    Пусть $S$ и $P$ — площади двух граней тетраэдра, $a$ — длина общего их ребра, $\alpha$ — двугранный угол между ними. Докажите, что объем тетраэдра $V$ может быть найден по формуле  $V=\frac{2SP\sin\alpha}{3a}$.

    Оформление: Склименок Евгения

  • Задача S9 Page

    Докажите, что для объема произвольного тетраэдра $V$ справедлива формула $V= \frac{abd \sin{ \varphi }}{6}$ , где $a$ и $b$ — два противоположных ребра тетраэдра, $d$ — расстояние между ними, $\varphi$ — угол между ними.

    Оформление: Смирнов Игорь

  • Задача S11 Page

    Докажите, что для объема $V$ многогранника, описанного около сферы радиусом $R$, справедливо равенство $V = \frac{1}{3} \cdot S_n \cdot R$, где $S_n$ — полная поверхность многогранника.

    Оформление: Стукач Дмитрий

  • Задача S12 Page

    Дан выпуклый многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях. Докажите, что его объём можно вычислить по формуле $V = \frac{h}{6} {(S_1 + S_2 + 4S)}$, где $S_1$ — площадь грани, расположенной в одной плоскости, $S_2$ — плоскость грани, расположенной в другой плоскости, $S$ — площадь сечения многогранника плоскостью, равноудаленной от двух данных, $h$ — расстояние между данными плоскостями.

    Оформление: Стаганович Алексей

  • Задача S26 Page

    Докажите, что плоскость, пересекающая боковую поверхность цилиндра, но не пересекающая его основание, делит ось цилиндра, боковую поверхность и объем в одинаковом отношении.

    Оформление: Забелов Антон.

  • Задача S27 Page

    В конус вписан цилиндр — основание цилиндра лежит на основании конуса, а другое основание цилиндра совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию. Радиус основания цилиндра в два раза меньше радиуса основания конуса. Найдите отношение объемов цилиндра и конуса.

    Оформление: Соловьева Анастасия

  • Задача S31 Page

    Найдите объём конуса, развёрткой боковой поверхности которого является полукруг радиусом $R$. 

    Оформление: Бартошевич Святослав

  • Задача S32 Page

    Из круга вырезан сектор с центральным углом в $90^\circ$. Из двух получившихся частей склеены два конуса (боковые поверхности). Найдите отношение объёмов получившихся конусов.

    Оформление: Борисик Иван

  • Задача S34 Page

    Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер треугольной пирамиды объёмом $V$.

    Оформленіе: Владыковский Дмитрий

  • Задача S43 Page

    Найдите объем треугольной пирамиды, в основании которой лежит треугольник со сторонами $3, 4$ и $5$, а двугранные углы при основании равны $60^\circ$.

    Оформление: Сержант Антон

  • Задача S46 Page

    Осевым сечением цилиндра является квадрат, а осевым сечением конуса — правильный треугольник, равновеликий квадрату. Найдите отношение объёмов цилиндра и конуса.

    Оформление: Аль-Тахан Катя

  • Задача S52 Page

    Проекцией куба является правильный шестиугольник со стороной $a$. Найдите объём куба.

    Оформление: Марголина Ирина

  • Задача S55 Page

    Ребро куба равно $1$. Найдите объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в центре трёх смежных граней и в вершине, не принадлежащей этим граням.

    Оформление: Бойко Егор

  
• Шар

  - Toggle

  Сфера и шар. Их сечения. Касательная плоскость и касательная прямая к сфере. Части сферы и шара. Поверхность шарового пояса. Сегментная поверхность. Поверхность шара. Объем шарового сектора. Объем шара. Объем шарового сегмента и шарового слоя. Задачи на комбинации тел с шаром.

  • Теоретические материалы Book
  • Задача S1 Page

    Дан правильный тетраэдр с ребром $a$(треугольная пирамида, все ребра которой равны $a$). Найдите его полную поверхность, объем, расстояние между противоположными ребрами, радиус описанного шара, радиус вписанного шара.

    Оформление: Жаворонок Евгений

  • Задача S18 Page

    Три шара радиусом $R$  касаются одной плоскости и попарно касаются друг друга. Найдите радиус четвертого шара, касающегося трех данных и той же плоскости.

    Оформление: Корчинский Илья

  • Задача S19 Page

    Докажите, что площадь поверхности сферы, заключённой между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферу, можно найти по формуле $S = 2\pi Rh$, где $R$ — радиус сферы, $h$ — расстояние между плоскостями.

    Оформление: Кохнович Роман

  • Задача S20 Page

    Докажите, что объем тела, получающегося при вращении кругового сегмента вокруг диаметра, его не пересекающего, можно вычислять по формуле $V=\frac{1}{6}\pi a^2h$, где $a$ — длинна хорды этого сегмента, а $h$ — проекция этой хорды на диаметр.

    Оформление: Кочурко Владислав

  • Задача S22 Page

    В правильной треугольной пирамиде известна сторона $a$ основания и плоский угол при вершине $\alpha$. Найдите ее объем, двугранный угол при основании, двугранный угол между боковыми гранями, радиус вписанного и описанного шаров.

    Оформление: Мирончук Владислав

  • Задача S23 Page

    В правильной четырехугольной пирамиде известна сторона $a$ основания и плоский угол при вершине $\alpha$. Найдите ее объем, двугранный угол при основании, двугранный угол между боковыми гранями, радиус вписанного и описанного шаров.

    Оформление: Ошмян Анна

  • Задача S28 Page

    Через центр шара проведены три попарно перпендикулярные плоскости, разделившие шар на восемь частей. В каждую из этих частей вписано по шару. 
    а) Найдите отношение объёма вписанного в одну из частей шара к объёму исходного шара. 
    б) Центры вписанных шаров являются вершинами многогранника. Что это за многогранник? Найдите отношение объёмов полученного многогранника и данного шара.
    Оформление: Фадеев Владислав

  • Задача S30 Page

    Основания цилиндра и конуса расположены в одной плоскости, а шар касается этой же плоскости, причём высота цилиндра равна высоте конуса и равна диаметру шара. Объёмы всех трёх тел равны между собой. Как относятся их полные поверхности? 

    Оформление: Барановская Виктория

  • Задача S38 Page

    Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны $2$. Найдите объём этой пирамиды, а так же радиусы вписанного и описанного шаров.

    Оформление: Жук Тимофей

  • Задача S39 Page

    В основании правильной треугольной призмы лежит правильный треугольник со стороной $6$. Найдите объем этой призмы, если известно ,что в нее можно вписать шар.

    Оформление: Левский Артур

  • Задача S41 Page

    Внутри куба с ребром $a$ расположены два равных касающихся между собой шара. При этом один шар касается трёх граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трёх оставшихся граней куба. Найдите радиусы этих шаров.

    Оформление: Пожога Кристина

  • Задача S44 Page

    Найдите отношение объёмов цилиндра и конуса, вписанных в один и тот же шар, если высота и цилиндра и конуса равна радиусу шара.

    Оформление: Чернякевич Алина

  • Задача S45 Page

    Осевое сечение конуса является правильным треугольником. Через ось конуса проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Рассмотрим два шара, каждый из которых касается этих двух плоскостей, плоскости основания конуса и его боковой поверхности, только один касается её изнутри, а другой — снаружи. Найдите отношение радиусов этих шаров.

    Оформление: Адамонис Арсений

  • Задача S47 Page

    Внутри треугольной пирамиды, все рёбра которой равны $a$, расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других, а также трёх граней пирамиды. Найдите радиусы этих шаров.

    Оформление: Боложинский Павел

  • Задача S53 Page

    Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $2$, радиус вписанного шара — $\dfrac{1}{2}$. Найдите величину двугранного угла между боковыми гранями пирамиды.

    Оформление: Шило Полина

  • Задание S54 Page

    Найдите величину двугранного угла между соседними боковыми гранями правильной четырёхугольной пирамиды, если известно, что радиус вписанного в неё шара в три раза меньше стороны основания.

    Оформление: Макарчик Вениамин

  • Задача S56 Page

    Найдите радиус шара, вписанного в треугольную пирамиду, пять рёбер которой равны $2$, а одно ребро равно $1$.

    Оформление: Рижковский Никита

  
• Задачи по стереометрии

  - Toggle

   

  • Задача 1 Page

    В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на диагоналях граней $AD_1$ и $D_1B_1$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $D_1E = \frac{1}{3}AD_1$, $D_1F = \frac{2}{3}D_1B_1$. Найти длину отрезка $EF$.

  • Задача 2 Page

    В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $E$ и $K$ — середины ребер $AA_1$ и $CD$ соответственно, а точка $M$ расположена на диагонали $B_1D_1$ так, что $B_1M = 2MD_1$. Найти расстояние между точками $Q$ и $L$, где $Q$ — середина отрезка $EM$, а $L$ точка отрезка $MK$ такая, что $ML = 2LK$.

  • Задача 3 Page

    В единичном кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ на диагоналях граней $AD_{1}$ и $D_{1}B_{1}$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $D_{1}E=\frac{1}{3}AD_{1}, D_{1}F=\frac{2}{3}D_{1}B_{1}$. Найти длину отрезка $EF$.

  • Задача 4 Page

    В единичном кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ на диагоналях граней $AD_{1}$ и $D_{1}B_{1}$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $D_{1}E=\frac{1}{3}AD_{1}, D_{1}F=\frac{2}{3}D_{1}B_{1}$. Найти расстояние от точки $D_{1}$ до прямой $EF$.

  • Задача 5 Page

    В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$, ребра которой равны $1$ , найти расстояние от точки $A$ до прямой $B_{1}C$.

  • Задача 6 Page

    В тетраэдре $ABCD$, все ребра которого равны $1$ , найти расстояние от точки $A$ до прямой, проходящей через точку $B$ и середину $E$ ребра $CD$.

  • Задача 7 Page

    В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найти расстояние от точки $D$ до прямой $A_1C$.

  • Задача 8 Page

    В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найти расстояние от точки $D_1$ до прямой $PQ$, где $P$ и $Q$ – середины соответственно ребер $A_1B_1$ и $BC$.

  • Задача 10 Page

    В единичном кубе $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ найти расстояние от точки $C_1$ до плоскости $AB_1C$.

  • Задача 11 Page

    В единичном кубе $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ найти расстояние от точки $D$ до плоскости $AB_1C$.

  • Задача 12 Page

    В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, ребра которой равны $1$, найти расстояние от точки $A$ до плоскости $A_1B_1C$.

  • Задача 13 Page

    В правильной шестиугольной пирамиде $MABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $4$, найти расстояние от середины ребра $BC$ до плоскости грани $EMD$.

  • Задача 14 Page

    В единичном кубе $A B C D A_1 B_1 C_1 D_1$ найти расстояние от точки $A_1$ до плоскости $B D C_1$.

  • Задача 15 Page

    В единичном кубе $A B C D A_1 B_1 C_1 D_1$ найти расстояние от точки $A_1$ до плоскости $B D C_1$.

  • Задача 16 Page

    Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найти расстояние от точки $C$ до плоскости $BDC_1$.

  • Задача 17 Page

    В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найти расстояние от точки $D_1$ до плоскости $AB_1C$.

  • Задача 18 Page

     Точки $A$, $B$, $C$, $D$ являются вершинами параллелограмма, ни одна из сторон которого не пересекает плоскость $\alpha$. Точки $A$, $B$, $C$ удалены от плоскости $\alpha$ на расстояние $2$, $3$, $6$ соответственно. Найти расстояние от вершины $D$ до плоскости $\alpha$.

  • Задача 19 Page

    В кубе, длина ребра которого равна $a$, найти расстояние между ребром и диагональю, не пересекающей его грани.

  • Задача 20 Page

    Найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна $a$.

  • Задача 21 Page

    В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найти расстояние между диагональю куба $BD_1$ и диагональю грани $AB_1$.

  • Задача 22 Page

    В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, рёбра которой равны $1$, найти расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

  • Задача 23 Page

    В кубе $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ найти угол между прямыми $A_1D$ и $D_1 E$, где $E$ — середина ребра $CC_1$.

  • Задача 24 Page

    В правильной треугольной призме $ABCA_1 B_1 C_1$, ребра которой равны 1, найти угол между прямыми $AC_1$ и $B_1 C$.

  • Задача 25 Page

    В правильной шестиугольной пирамиде $MABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найти косинус угла между $MB$ и $AD$.

  • Задача 26 Page

    В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найти угол между прямыми $AE$ и $DF$, где $E$ и $F$ – точки, расположенные на ребрах $CD$ и $C_1D_1$ так, что $DE=\frac{1}{3}DC$ , $C_1F=\frac{1}{3}C_1D_1$.

  • Задача 27 Page

    В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ найти угол между прямыми $EF$ и $PQ$, где $E, F, P, Q$ — середины ребер $DD_{1}, BC, AA_{1}$ и $B_{1}C_{1}$ соответственно.

  • Задача 28 Page

    Угол между боковыми ребрами правильной четырехугольной пирамиды, не лежащими в одной грани, равен $120^\circ$. Найти плоский угол при вершине пирамиды.

  • Задача 29 Page

    В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ найти угол между прямыми $AD_{1}$ и $DM$, где $M$ — середина ребра $D_{1}C_{1}$.
  • Задача 30 Page

    Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Его диагональ $B_{1}D$ составляет с ребром $AD$ угол $45^\circ$, а с ребром $DC$ угол $60^\circ$. Найти угол между прямыми $B_{1}D$ и $DD_{1}$.

  • Задача 31 Page

    В правильной шестиугольной пирамиде $MABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $4$, найти синус угла между прямой $BC$ и плоскостью $EMD$.

  • Задача 32 Page

    В правильной треугольной пирамиде $MABC$ с основанием $ABC$ известны ребра $AB=7\sqrt3$, $MC=25$. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер $AM$ и $BC$.

  • Задача 33 Page

    В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, ребра которой равны $1$, найти угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ACE_1$.

  • Задача 34 Page

    В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найти угол между прямой $A_1B_1$ и плоскостью $BDC_1$.

  • Задача 35 Page

    В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, найти двугранный угол между основанием и боковой гранью.

  • Задача 36 Page

    В правильной шестиугольной пирамиде, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти косинусы двугранных углов при основании и при боковом ребре.

  • Задача 37 Page

    В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ боковое ребро равно $b$, а сторона основания $a$. Найти косинус угла между плоскостями $ABC_1$ и $A_1B_1C$.

  • Задача 38 Page

    В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным $a$, через точки $M$ на ребре $BB_1$ и $N$ на $DD_1$ такие, что $BM=\frac{3 a}{4}$ и $DN=\frac{a}{4}$, параллельно $AC$ проведена секущая плоскость. Определить угол между секущей плоскостью и плоскостью $ABC$.