Теоретические материалы: Теорема о внешнем угле треугольника

Теоретические материалы

Треугольники. В работе над книгой принимали участие студенты 3 курса 2010/11 года Бураковский Эдуард, Гуща Евгений, Каленник Кристина, Куксанов Игнат, Марченко Ольга, Осипова Анна, Чумакин Александр.

Планиметрия

2. Треугольники

2.4. Теорема о внешнем угле треугольника

Определение

Угол, смежный с внутренним углом многоугольника (треугольника), называется его внешним углом.

Теорема

Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним.

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle ACD$ — внешний. Требуется доказать: $\angle ACD$ $>$ $\angle A$ , $\angle ACD$ $>$ $\angle ABC$ .

Доказательство:

Проведем медиану $BO$ и на ее продолжении отложим отрезок $OE=OB$ . $\triangle AOB = \triangle COE$ . В этих треугольниках против $BO$ и $OE$ лежат равные углы: $\angle A$ и $\angle OCE$ . Но $\angle OCE$ лишь часть угла $ACD$ , a поэтому $\angle ACD>\angle A$ . Для доказательства того, что $\angle ACD >\angle ABC$ , нужно было бы провести медиану к стороне $BC$ и взять внешний угол $BCF$ , равный углу $ACD$ . $\boxtimes$

Следствие 1

Из точки, взятой вне прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.

Доказательство:

Пусть из точки $C$ на прямую $AB$ опущен перпендикуляр. Тогда $\angle CDA=\angle CDB=90^{\circ}$ . Допустим,что из $C$ можно провести к $AB$ еще один перпендикуляр $CF$ . Тогда $\angle CFD = 90^{\circ}$ и будет равен внешнему углу $CDB$ треугольника $FCD$ , не смежному с углом $CFD$ , что по теореме невозможно. Следовательно, допущение о том, что можно опустить второй перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AB$ , неправильно.