Теоретические материалы: Зависимость между сторонами и углами треугольника

Планиметрия

2. Треугольники

2.5. Зависимость между сторонами и углами треугольника

Теорема 1

Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол (против меньшей стороны — меньший угол).
Дано: $\triangle ABC$ , $AC > BC$ .
Требуется доказать: $\angle ABC > \angle A$ .

Доказательство:

Для доказательства отложим отрезок $CD$ , равный $CB$ ; $\angle \alpha = \angle \beta$ .
Сравним величины углов $\beta$ и $A$ ( $\angle \beta$ — внешний угол треугольника $ABD$ ): $\angle \beta>\angle A$ , поэтому $\angle \alpha > \angle A$ . Но $\angle ABC > \angle \alpha$ , поэтому $\angle ABC > \angle A$ .

$\boxtimes$

Теорема 2

Против равных углов в треугольнике лежат равные стороны (т.е. треугольник с двумя равными углами — равнобедренный).

Доказательство:

Докажем методом от противного. Допустим, что против равных углов лежат неравные стороны. Тогда против большей из этих неравных сторон лежал бы больший угол (по теореме 1), однако это противоречит условию доказываемой теоремы (углы равны). Следовательно, допущение неверно и теорема доказана.

$\boxtimes$

Теорема 3 (обратная)

Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.
Дано: $\triangle ABC$ , $\angle B > \angle A$ .
Требуется доказать: $AC > BC$ .

Доказательство:

Здесь может быть правильным лишь одно из трех соотношений: 1) $AC = BC$ , 2) $AC < BC$ ,
3) $AC > BC$ .
Но первый и второй случаи приводят к противоречию с условием доказываемой теоремы ( $\angle B > \angle A$ ) и поэтому невозможны.
Следовательно, верен третий случай.

$\boxtimes$

Следствие 1

Гипотенуза больше каждого катета.

Теорема 4

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство:

Доказывается на основании аксиомы о сравнительной длине отрезка и ломаной, имеющих общие концы:
$AB + BC > AC$ , где $AB$ , $BC$ и $AC$ — стороны треугольника.