Планиметрия

2. Треугольники

2.6. Теоремы о перпендикуляре, наклонных и их проекциях

Определение перпендикуляра мы уже знаем. Из точки, взятой вне прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр. Также через эту же точку можно провести еще бесчисленное множество других прямых, пересекающих данную прямую и образующих с ней непрямые углы.

Определение

Точка пересечения перпендикуляра к прямой с этой прямой называется основанием перпендикуляра.

Определение

Прямая, пересекающая другую прямую и не перпендикулярная к ней, называется наклонной.

Определение

Точка пересечения наклонной к прямой с этой прямой называется основанием наклонной.

Определение

Отрезок, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра, проведенных из одной точки к прямой, называется проекцией наклонной.

Определение

Расстоянием точки от прямой называется длина перпендикуляра от данной точки до его основания на данной прямой.

Примечание. Под длиной перпендикуляра и наклонной будем понимать длину их отрезков между основанием и точкой, из которой проведены перпендикуляр и наклонная.

Теорема 1

Если из одной точки к данной прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то перпендикуляр меньше любой наклонной.

Доказательство:

В прямоугольном треугольнике AOB AB — гипотенуза, AO — катет.

\fbox{\times}

Теорема 2

Если из одной точки к данной прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то равные наклонные имеют равные проекции.

Доказательство:

Так как AB=AC, то \triangle ABC — равнобедренный, перпендикуляр AO — высота, которая является и медианой. BO=OC.

\fbox{\times}

Теорема 3

Если из одной точки к данной прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то (обратная теореме 2) равным проекциям соответствуют равные наклонные.

Дано: AO \perp BC и BO=OC. Требуется доказать: AB=AC.

Доказательство:

Для доказательства перегнем чертеж по AO. Тогда OB пойдет по OC, так как прямые углы при наложении совпадут. Точка B попадет в точку C (BO=OC). AB совпадет с AC.

\fbox{\times}

Теорема 4

Если из одной точки к данной прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то большей проекции соответствует большая наклонная.
Дано: DO>CO, AO \perp OD.
Требуется доказать: AD>AC.

Доказательство:

\angle ACD больше прямого угла AOC. В треугольнике ACD AD лежит против тупого угла, а AC — против острого, AD>AC.
Пусть наклонные AB и AD с неравными проекциями расположены по разные стороны от AO. Повернем \bigtriangleup AOB вокруг AO, он займет положение \bigtriangleup AOC. Но мы уже доказали, что AD>AC, а AB=AC, значит, AD>AB.

Теорема 5

Если из одной точки к данной прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то (обратная теореме 4) большая наклонная имеет большую проекцию.
Дано: AD>AB.
Требуется доказать: OD>OB.

Доказательство:

Между OD и OB может быть только одно из трех соотношений: OD=OB, или OD, или OD>OB. Применив теоремы 3 и 4, убедимся, что первые два соотношения приводят к противоречию с условием теоремы (AD>AB), а поэтому невозможны. Верно только соотношение OD>OB.

\fbox{\times}