Теоретические материалы: Признаки равенства прямоугольных треугольников

Планиметрия

2. Треугольники

2.7. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Теорема 1 (первый признак равенства — по двум катетам)

Если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Теорема 2 (второй признак равенства — по катету и прилежащему острому углу)

Если катет и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Теорема 3 (третий признак равенства — по гипотенузе и острому углу)

Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Дано: $\triangle{ABC}$ и $\triangle{A_1B_1C_1}$ , $\angle{C}=\angle{C_1}=90^{\circ}$ , $AB=A_1B_1$ , $\angle{A}=\angle{A_1}$ .

Требуется доказать: $\triangle{ABC}=\triangle{A_1B_1C_1}$ .

Доказательство:

Доказываем наложением $\triangle{ABC}$ на $\triangle{A_1B_1C_1}$ . Гипотенузы при этом совместятся. $AC$ пойдёт по $A_1C_1$ , так как $\angle{A}=\angle{A_1}$ . Но $BC{\perp}AC$ и $B_1C_1{\perp}A_1C_1$ . $BC$ совпадёт с $B_1C_1$ .

Теорема 4 (четвёртый признак равенства — по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Дано: $\triangle{ABC}$ и $\triangle{A_1B_1C_1}$ , $\angle{C}=\angle{C_1}=90^{\circ}$ , $AB=A_1B_1$ , $BC=B_1C_1$ .

Требуется доказать: $\triangle{ABC}=\triangle{A_1B_1C_1}$ .

Доказательство:

Для доказательства применим способ приложения, которым был доказан признак равенства всяких треугольников. Приложим $\triangle{A_1B_1C_1}$ и $\triangle{ABC}$ равными катетами. Тогда сумма двух прямых есть развёрнутый угол, стороны которого $CA$ и $CA_1$ образуют одну прямую. $BC{\perp}AA_1$ .