Планиметрия

2. Треугольники

2.8. Геометрическое место точек

Определение

Фигура на плоскости, все точки которой обладают одним и тем же свойством, а ни одна из других точек плоскости этим свойством не обладает, называется геометрическим местом точек (г. м. т.) данного свойства на плоскости.

Примеры:

1) Окружность есть г. м. т. на плоскости, удаленных от центра на расстояние, равное радиусу.

Это следует из определения окружности.

2) Биссектриса угла есть г. м. т., каждая из которых одинаково удалена от обеих сторон угла.

3) Перпендикуляр через середину отрезка есть г. м. т., каждая из которых одинаково удалена от концов отрезка.

Теорема 1

Каждая точка биссектрисы угла одинаково удалена от его сторон.

Дано: \triangle ABC, BD — его биссектриса, OM \bot AB, OE \bot BC (смотри рисунок).

Требуется доказать: OM = OE.

Доказательство:

У прямоугольных треугольников гипотенуза BO общая и \angle MBO = \angle EBO(BD—биссектриса). \triangle MBO = \triangle EBO. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны: MO = OE. \boxtimes

Теорема 2

Если точка одинаково удалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Дано: \angle ABC , OM \bot BA , OE \bot BC, OM = OE (смотри рисунок).

Требуется доказать: BO — биссектриса \angle ABC.

Доказательство:

\triangle MBO= \triangle EBO по гипотенузе (OB) и катету (OM = OE — дано). В равных треугольниках против равных катетов лежат равные углы: \angle MBO = \angle EBO и, согласно определению, BO — биссектриса \angle ABC. \boxtimes

Теорема 3

Каждая точка перпендикуляра, проведенного к отрезку через его середину, одинаково удалена от концов этого отрезка.

Теорема 4

Точка, одинаково удаленная от концов отрезка, лежит на перпендикуляре, проведенном к этому отрезку через его середину.