Планиметрия

8. Правильные многоугольники

8.1. Правильные многоугольники. Выражение стороны через радиус

Учитель

Я буду вводить определения, а ты внимательно следи и не стесняйся задавать вопросы.

Определение

Многоугольник называется правильным, если: 1) все его стороны равны и 2) все углы равны.

Ученик

Таким образом, правильным треугольником является только равносторонний треугольник?

Учитель

Да, а правильным четырехугольником — только квадрат.

Ученик

А как проще построить правильный многоугольник?

Учитель

Наиболее удобный способ построения правильного многоугольника — разделить окружность на равные части и точки деления последовательно соединить. Стороны полученного многоугольника будут равны как хорды, стягивающие равные дуги. Все его углы будут вписанные, опирающиеся на равные дуги.

Ученик

Понятно, а зная радиус окружности, мы можем узнать сторону правильного многоугольника.

Учитель

Верно. Есть такая теорема.

Теорема

Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в круг радиуса R, равна 2R\sin {\frac{180^\circ}{n}}.

Доказательство:

Пусть \smile AB получена делением окружности на n равных частей, тогда центральный \angle{AOB}=\frac{360^\circ}{n}. Проведем OC \bot AB, тогда AC = CB и \angle{AOC}=1/2 \angle{AOB}=\frac{180^\circ}{n}. В прямоугольном треугольнике ACO известен острый угол \frac{180^\circ}{n} и гипотенуза AO = R. Найдем катет AC. \sin{AOC}=\frac{AC}{AO}; \sin {\frac{180^\circ}{n}}=\frac{AC}{R}; AC=R\sin {\frac{180^\circ}{n}}; AB=2AC; AB=2R\sin {\frac{180^\circ}{n}}, обозначим AB через a_{n}. a_{n}=2R\sin {\frac{180^\circ}{n}}.

Теорема доказана.

Ученик

Ясно. Значит сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна R. Т.к. число сторон n = 6, то a_{6}=2R\sin {\frac{180^\circ}{6}}=2R\sin{30^\circ}=2R\cdot \frac{1}{2}=R .

Учитель

Да, а сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна R\sqrt{2}.