Теоретические материалы: Построение вписанных и описанных окружностей

—

Планиметрия

8. Правильные многоугольники

8.2. Построение вписанных и описанных окружностей

Определение

Многоугольник, все вершины которого находятся на окружности, называется вписанным в окружность, а окружность — описанной около многоугольника.

Определение

Многоугольник, все стороны которого — касательные к окружности, называется описанным около окружности, а окружность — вписанной в многоугольник.

Задача

Провести окружность через три данные точки, не лежащие на одной прямой.

Решение:
Пусть $A$ , $B$ и $C$ — данные точки. Центр искомой окружности должен быть одинаково удален от точек $A$ и $B$ , поэтому он лежит на перпендикуляре, проходящем через середину отрезка $AB$ . Центр искомой окружности должен лежать и на перпендикуляре, проведенном через середину $BC$ , поэтому таковым центром будет точка пересечения указанных перпендикуляров.
$AM=MB, BN=NC, OM\per AB, ON\per BC, OA=OB$ и $OB=OC$ ,
следовательно, $OA=OB=OC$ — радиусы искомой окружности, $O$ — ее центр. Решение единственное.

Этим доказана следующая теорема.

Теорема 1

Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Теорема 2

Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство:

Пусть окружность касается сторон угла $BAC$ в точках $K$ и $M$ . Тогда радиусы $OK\per AB$ и $OM\per AC$ . Но $OK=OM$ , поэтому центр $O$ лежит на биссектрисе $AO$ . Аналогично устанавливаем, что центр лежит на биссектрисах $BO$ и $OC$ двух других углов треугольника.

Следствие 1

Все три перпендикуляра к серединам сторон треугольника пересекаются в одной точке — в центре описанной окружности.

Следствие 2

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — в центре вписанной окружности.

Ученик

А описать или вписать окружность можно в любой правильный многоугольник?

Учитель

Давай выясним это.
Геометрическое место центров окружностей, вписанных в данный угол, есть биссектриса этого угла. Если существует окружность, вписанная в многоугольник, то она вписана в каждый его внутренний угол, поэтому центр ее лежит на пересечении биссектрис всех этих углов. Докажем, что биссектрисы всех внутренних углов правильного $n$ -угольника пересекаются в одной точке. Этими биссектрисами правильный многоугольник разбивается на $n$ равных равнобедренных треугольников (по одному при каждой стороне правильного многоугольника). Основания этих треугольников $AB = BC = CD = ... = AF$ (как стороны правильного многоугольника) и углы при основании равны: $\angle{OBA}=\angle{OBC}=\angle{OCB}= ... =\angle{OFA}=\angle{OAF}$ .

Ученик

Как половины равных углов правильного многоугольника.

Учитель

Верно. Итак, $\triangle OAB = \triangle OBC = \triangle OCD = ... =\triangle OFA$ (по стороне и двум углам) и в них против равных углов лежат равные стороны ( $AO = BO = CO = DO = ... = FO$ ). Следовательно, все $n$ треугольников имеют общую вершину ( $O$ ), в которой пересекаются все биссектрисы внутренних углов правильного $n$ -угольника. Как общая точка всех биссектрис $O$ одинаково удалена от всех сторон правильного многоугольника, т.е. перпендикуляры к сторонам $OM = OK = ... =ON$ являются радиусами вписанной окружности.

Ученик

Следовательно, в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, притом только одну. Ее центр находится на пересечении биссектрис внутренних углов и радиус равен расстоянию от центра до любой из сторон.

Учитель

Правильно.

Ученик

А будет ли центр вписанной в правильный многоугольник окружности являться одновременно центром описанной около него окружности?

Учитель

Да.

Определение

Центр вписанной в правильный многоугольник окружности всегда является одновременно центром описанной около него окружности и называется центром правильного многоугольника.

Радиус описанной окружности называется радиусом правильного многоугольника.

Радиус вписанной окружности называется апофемой правильного многоугольника.

Ученик

Понял. Центр описанной окружности одинаково удален от вершин правильного многоугольника, поэтому он лежит на пересечении перпендикуляров, проведенных через середины сторон.

Учитель

Каждая прямая, проходящая через центр и вершину или через центр и середину стороны правильного многоугольника является его осью симметрии. В правильном многоугольнике с четным числом сторон его центр является центром симметрии.