Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

8. Правильные многоугольники

8.3. Подобие правильных многоугольников

Учитель

Начнем с теоремы.

Теорема

Правильные одноименные многоугольники подобны.

Доказательство:

Углы двух правильных $n$-угольников соответственно равны, так как каждый из них равен $\frac{180^\circ (n-2)}{n}$, и стороны пропорциональны: $\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=...$, так как $AB = BC = ...$ и $A_{1}B_{1} = B_{1}C_{1} = ...$. Согласно определению многоугольники подобны.

Теорема доказана.

Учитель

Сформулируем еще одну теорему.

Теорема

Периметры правильных одноименных многоугольников относятся, как их стороны или радиусы.

Доказательство:

Пусть сторона одного правильного $n$-угольника равна $a$ и периметр $P$, а другого соответственно $a_{1}$ и $P_{1}$. Тогда $P = an$ и $P_{1}=a_{1}n$. Отношение периметров $\frac{P}{P_{1}}=\frac{an}{a_{1}n}=\frac{a}{a_{1}}$. Если центр каждого из правильных $n$-угольников соединим с концами одной из его сторон, то получим подобные треугольники (их соответствующие углы равны). Боковые стороны этих равнобедренных треугольников ($\triangle AOE$ и $\triangle A_{1}O_{1}E_{1}$) являются радиусами $R$ и $R_{1}$ данных правильных $n$-угольников. Стороны треугольников пропорциональны: $\frac{a}{a_{1}}=\frac{R}{R_{1}}$.

Теорема доказана.

Ученик

Понятно. Получаем, что $\frac{P}{P_{1}}=\frac{a}{a_{1}}=\frac{R}{R_{1}}$.