Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

4. Параллелограммы и трапеции

4.1. Параллелограмм и его свойства

Определение

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Теорема 1

В параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм (смотри рисунок).
Требуется доказать: $AB = CD$, $AD = BC$, $\angle C = \angle A$, $\angle ABC = \angle ADC$, $\angle ADC + \angle A = 180^{\circ}$, $\angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$, $\angle ADC + \angle C = 180^{\circ}$, $\angle ABC + \angle A = 180^{\circ}$ .

Доказательство:

Диагональ ($BD$) параллелограмма делит его на два равных треугольника: $\triangle ABD = \triangle CBD$, так как сторона $BD$ — общая , а $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 4 = \angle 2$ как накрест лежащие внутренние при параллельных прямых ($AB || CD$ и $AD || BC$ по определению параллелограмма) . В равных треугольниках $AD = BC$ (так как $\angle 1 = \angle 3$), $AB = CD$ ($\angle 4 = \angle 2$), $\angle A = \angle C$ (лежат против $BD$). $\angle ABC = \angle ADC$ ($\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 4$). Углы параллелограмма (например, $\angle A$ и $\angle ADC$), прилежащие к одной и той же стороне, являются внутренними односторонними при параллельных прямых ($AB || DC$, секущая $AD$) и в сумме составляют $180^{\circ}$.

Теорема доказана

Следствие

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными прямыми, равны.

Теорема 2

Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.

Дано: $ABCD$, $AB || CD$ и $BC || AD$ (смотри рисунок).
Требуется доказать: $AO = OC$, $BO=OD$.

Доказательство:

$\triangle AOB = \triangle COD$ ($AB = CD$ по Теореме 1, $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$), $AO = OC$ ($\angle 1 = \angle 2$), $BO = OD$ ($\angle 3 = \angle 4$).

Теорема доказана.