Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

4. Параллелограммы и трапеции

4.3. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства

Определение

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Определение

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Определение

Параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны, называется квадратом.

Прямоугольник, ромб и квадрат — частные случаи параллелограмма и обладают всеми его свойствами.

Теорема 1

Диагонали прямоугольника равны.

Дано: $ABCD$ — прямоугольник (смотри рисунок).
Требуется доказать: $AC = BD$.

Доказательство:

$\triangle ABC = \triangle DBC$, ($\angle ABC = \angle DCB = 90^{\circ}$ — пo определению прямоугольника, $AB = DC$ — как противоположные стороны параллелограмма и $BC$ — общий катет) . $AC = BD$.

Теорема доказана.

Теорема 2

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Дано: ABCD — ромб (смотри рисунок).
Требуется доказать:$BD \perp AC$,$\angle 1 =\angle 2$ и т.д.

Доказательство:

$\triangle BAD$ — равнобедренный ( $AB = AD$ — по определению ромба) и $AD$ — его медиана, проведенная к основанию $BD$ ($BO = OD$ — свойство диагоналей параллелограмма). Следовательно, $AO$ — высота и биссектриса. $AC \perp BD$ , $\angle 1 =\angle 2$. Аналогично доказывается и для остальных углов ромба.

Теорема доказана.

Следствие

Диагонали квадрата (смотри рисунок) обладают свойствами диагоналей параллелограмма, прямоугольника и ромба.