Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

4. Параллелограммы и трапеции

4.5. Деление отрезка на равные части

Пример

Пусть дан отрезок $AB$ (смотри рисунок) и требуется разделить его с помощью циркуля и линейки на данное число равных частей(например, на 3).

Решение:
Для решения задачи выполним следующие построения. Из одного конца ($A$) данного отрезка проведем произвольный луч $AM$ и отложим на нем, начиная от вершины $A$, три каких-нибудь равных между собой отрезка: $AK=KL - LN$. Конец последнего из этих отрезков ($N$)соединим прямой с другим концом($B$) данного отрезка.Через точки $K$ и $L$ проведем прямые $KC$ и $LD$, параллельные $NB$.

Докажем равенство полученных отрезков $AC$, $CD$ и $DB$. Проведем $KE$ и $LF$ параллельно $AB$. $\angle 1 = \angle 2= \angle 3$(как соответственные при трех параллельных прямых $AB$, $KE$, $LF$ и секущей $AM$). $\angle 4 = \angle 5 - \angle 6$ (при параллельных $KC$, $LD$ и $NB$ и секущей $AM$). $AK = KL = LM$ (по построению). $\triangle ACK=\triangle KEL=\triangle LFN$ , в них $AC= KE = LF$. Но $KCDE$ и $LDBF$ — параллелограммы (по определению) и в них $KE = CD$ и $LF = DB$. Поэтому $AC = CD = DB = \frac{1}{3}AB$, что и требовалось доказать.

Попутно мы доказали здесь следующее.

Теорема

Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то и на этой стороне угла отложатся равные между собой отрезки.