Планиметрия

4. Параллелограммы и трапеции

4.6. Средняя линия треугольника

Определение

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника (DF, смотри рисунок).

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Дано: \triangle ABC, BD = DA и BF = FC, DF.
Требуется доказать: DF ||AC и DF = \frac{1}{2} AC (смотри рисунок).

Доказательство:

Допустим, что DF не параллельна AC. Тогда из середины D стороны AB проведем прямую, параллельную AC, которая пересечет сторону BC не в точке F. Но эта точка по теореме будет также серединой стороны BC. Получилось, что у BC две середины, что невозможно, а поэтому допущение неверно. Следовательно, DF || AC, т.е. средняя линия параллельна третьей стороне.

Возьмем AE=EC, тогда DE - средняя линия и DE || BC (по доказанному) . DFCE — параллелограмм, поэтому DF = EC=\frac{1}{2} AC (так как AE =EC по построению).

Теорема доказана.