Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

4. Параллелограммы и трапеции

4.7. Трапеция и ее средняя линия

Определение

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией.

Определение

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями ($AD$ и $BC$, смотри рисунок) , а две другие — боковыми сторонами ($AB$ и $CD$).

Определение

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной (равнобочной).

Определение

Трапеция, одна из боковых сторон которой перпендикулярна к основаниям, называется прямоугольной.

Определение

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: $ABCD$, $BC|| AD$, $AM = MB$, $CN = ND$.

Требуется доказать: $MN || AD$, $MN || BC$, $MN=\frac{1}{2} (AD+BC)$ (смотри рисунок 8).

Доказательство:

$\triangle BCN =\triangle NDE$ ($CN=ND$, $\angle 1=\angle 2$ как внутренние накрест лежащие при $BC || AE$ и секущей $CD$, $\angle3=\angle 4$ как вертикальные). Отсюда $DE=BC$ и $BN=NE$. $MN$ —средняя линия треугольника $ABE$ (по определению). $MN=\frac{1}{2} AE=\frac{1}{2} (AD+BC)$ и $MN || AD$, а поэтому $MN || BC$ .

Теорема доказана.

При решении задач на построение трапеций удобно применять метод параллельного перенесения, основанный на свойствах параллелограмма.