Теоретические материалы: Площадь прямоугольника и квадрата

Планиметрия

5. Площади

5.1. Площадь прямоугольника и квадрата

Если взять, например, параллелограмм и треугольник, отделяемый от параллелограмма его диагональю, то часть плоскости, занимаемая параллелограммом, больше части плоскости, занимаемой этим треугольником. В таком случае говорят, что площадь параллелограмма больше площади указанного треугольника. Следовательно, площадь фигуры — величина и ее можно измерить путем сравнения с другой площадью, принятой за единицу. Площадь квадрата со стороной в единицу длины принимается за единицу площади. Это квадратный метр, квадратный сантиметр и др.

Любая из сторон прямоугольника может быть принята за основание, а другая сторона, перпендикулярная к основанию,— за высоту. Измерим основание и высоту одной единицей длины.

Теорема

Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту: $S = ah$ .

Прямоугольник $ABCD$ (смотри рисунок) имеет основание $AD=4$ см, высоту $AB=2$ см, и площадь его содержит $8$ кв. см, т. е. ( $4\cdot 2$ ) кв. см. Если основание содержит $a$ линейных единиц, то вдоль основания ляжет в ряд $a$ единичных квадратов, и если высота фигуры $h$ , то таких рядов в фигуре вместится $h$ , а всего единичных квадратов в фигуре будет $ah$ . В прямоугольнике $KLMN$ $a=3,5$ и $h=1,5$ или $a=\frac{7}{2}$ и $h=\frac{3}{2}$ в сантиметрах, а в единицах, равных $\frac{1}{2}$ см, получим $a = 7$ и $h=3$ и площадь $7\cdot3$ равна $21$ квадрату со стороной в $\frac{1}{2}$ см. $1$ кв. см равен четырем таким квадратам, поэтому площадь $KLMN$ в квадратных сантиметрах равна $21:4 = 5\frac{1}{4}$ . Но это же число мы получим, перемножая данные дробные измерения основания и высоты: $3,5\cdot 1,5=\frac{7}{2}\cdot \frac{3}{2}=5\frac{1}{4}$ (кв.см).