Теоретические материалы: Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

Планиметрия

5. Площади

5.2. Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

Определение

Отрезок перпендикуляра, заключенный между параллельными сторонами параллелограмма (трапеции), называется высотой.

Теорема 1

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: $S=ah$ .

Дано: параллелограмм $ABCD$ (смотри рисунок), $AD=a$ — основание, $BE=h$ — высота.
Требуется доказать: $S_{ABCD}=ah$ .

Проведем $CF \perp AD$ . $\triangle ABE = \triangle DCF$ ( у них $AB = DC$ и $BE=CF$ ). Если от трапеции $ABCF$ отнять $\triangle DCF$ , то получим параллелограмм $ABCD$ , а если от той же трапеции отнять $\triangle ABE$ , то получим прямоугольник $EBCF$ . Следовательно, площадь параллелограмма с основанием $a$ и высотой $h$ равна площади прямоугольника с тем же основанием $a$ и той же высотой $h$ . Итак, площадь параллелограмма $S = ah$ .

Теорема доказана.

Теорема 2

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: $S_\triangle =\frac{1}{2} ah$ .

Доказательство:
Всякий треугольник ( $\triangle KLM$ ,смотри рисунок) можно достроить до параллелограмма ( $KLNM$ ), проведя прямые, параллельные двум его сторонам, из двух вершин. У данного треугольника и полученного параллелограмма общие основание $a$ и высота $h$ . Но $\triangle KLM = \triangle LMN$ (по трем сторонам). Следовательно, $S_\triangle$ равна половине площади параллелограмма ( $ah$ ): $S_\triangle = \frac{1}{2}ah=\frac{a}{2}h= a\frac{h}{2}$ .

Теорема доказана.

Теорема 3

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: $S=\frac{a+b}{2}h$ .

Доказательство:
Трапеция ( $ABCD$ , смотри рисунок) разбивается диагональю ( $AC$ ) на два треугольника ( $ABC$ и $ACD$ ), имеющих одинаковую высоту ( $h$ ), равную высоте трапеции. Основания трапеции ( $a$ и $b$ ) являются основаниями этих треугольников. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников: $S=\frac{a}{2}h+\frac{b}{2}h=(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})h=\frac{a+b}{2}h$ .

Следствие

Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту.

Площадь произвольного многоугольника находится путем разбиения его на ряд треугольников, вычислением и суммированием площадей всех этих треугольников. Для правильного, а также для любого описанного около окружности многоугольника существует более простой способ вычисления площади.