Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

6. Подобие фигур

6.1. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Отношение отрезков. Пропорциональные отрезки

Пусть некоторый отрезок $c$ содержится в отрезке $a$ ровно $4$ и в отрезке $b$ ровно $3$ раза: $a=4c$, $b=3c$. Отрезок $c$ в таком случае называют общей мерой отрезков $a$ и $b$. Ясно, что если взять любую долю отрезка $c$, то она также будет содержаться в каждом из данных отрезков $a$ и $b$ целое число раз. Например, если $c_1=0,1c$, то $a=40c_1$ , $b = 30c_1$; если $c_2=0,01c$, то $a = 400c_2$, $b = 300c_2$ и т. д.

Определение 1

Общей мерой двух отрезков будет называться такой третий отрезок, который содержится целое число раз в каждом из двух данных отрезков.

Если отрезки имеют общую меру, то они имеют бесконечное множество общих мер. Одна из них больше всех остальных и называется наибольшей общей мерой данных отрезков. Если меньший из двух данных отрезков содержится в большем целое число раз, то меньший отрезок и является наибольшей общей мерой двух данных отрезков.

Определение 2

Два отрезка ($a$ и $b$) называются соизмеримыми, если они имеют общую меру ($c$): $a = mc$ и $b = nc$, где $m$ и $n$ — натуральные числа.

Соизмеримые отрезки существуют, например, $a=1$ м и $b = 3$ дм. Для нахождения их наибольшей общей меры отложим $b$ на $a$ ($3$ раза) и получим в остатке отрезок $d_1$ ($1$ дм), меньший отрезка $b$. Остаток $d_1$ отложится на меньшем отрезке $b$ ровно $3$ раза, т. е. $b=3d_1$ и в большем отрезке $a$ $10$ раз, т. е. $a=3b+d_1 = 3\cdot3d_1+d_1=10d_1$, поэтому $d_1$ и есть наибольшая общая мера отрезков $a$ и $b$. Если бы, откладывая остаток $d_1$ на меньшем данном отрезке $b$, опять получили бы остаток $d_2$ ($d_2\lt d_1$), то $d_2$ откладывали бы на $d_1$ и т.д., пока не получилось бы, что $d_n$ отложится в $d_{n-1}$ целое число раз без остатка. Тогда $d_n$ и будет наибольшей общей мерой отрезков $a$ и $b$.

Определение 3

Два отрезка называются несоизмеримыми, если они не имеют общей меры.

Примером несоизмеримых отрезков могут служить сторона и диагональ квадрата (доказательство этого факта опускаем) . Это значит, что процесс откладывания стороны квадрата на диагонали, остатка на стороне, второго остатка на первом и т. д. был бы бесконечен, так как всегда получался бы остаток. Измерить отрезок $a$ единичным отрезком $e$ значит найти число, показывающее, сколько раз отложится на отрезке $a$ отрезок $e$ или его доли. Это число называют длиной отрезка.
Если отрезок $a$ соизмерим с единичным отрезком $e$, то длина отрезка есть число рациональное (натуральное или рациональная дробь). Например, $a=5$ дм при $e=1$ дм или $a=0,5$ м при $e=1$ м.
Если отрезок $a$ несоизмерим с единичным отрезком $e$, то длина отрезка есть число иррациональное. Например, если $e=1$ дм сделать стороной квадрата, то его диагональ $a=e\sqrt{2}=\sqrt{2}$ дм (по теореме Пифагора $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$). Поскольку иррациональное число есть бесконечная непериодическая десятичная дробь, то его приближенное значение можно выразить с любой степенью точности с помощью конечной (рациональной) дроби. Так, точная длина $a$ есть $\sqrt{2}$ дм, а приближенная $1,4$ дм или $1,41$ дм и т. д.

Определение 4

Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одинаковых единицах измерения.

Величина отношения отрезков не изменится, если в качестве единицы измерения взять любую общую меру данных отрезков. Так, если $a=4c=40c_1$ и $b=3c=30c_1$, то
$\frac{a}{b}=\frac{4c}{3c}=\frac{4}{3}$ и $\frac{a}{b}=\frac{40c_1}{30c_1}=\frac{4}{3}$.

Определение 5

Четыре отрезка $a$, $b$, $c$, $d$ называются пропорциональными, если из их длин можно составить пропорцию $a:b = c:d$.

Этому определению не противоречит следующее более общее определение.
Отрезки $a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n$ называются пропорциональными отрезкам $b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n$, если
$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}$.