Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

6. Подобие фигур

6.2. Пропорциональные отрезки на сторонах угла. Деление отрезка пропорционально данным отрезкам

Теорема Фалеса

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство:

Пусть $A_1, A_2, A_3$ — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и $A_2$ лежит между $A_1$ и $A_3$. Пусть $B_1, B_2, B_3$ — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если $A_1 A_2= A_2 A_3$, то $B_1 B_2= B_2 B_3$.
Проведем через точку $B_2$ прямую $EF$, параллельную прямой $A_1 A_3$, По свойству параллелограмма $A_1 A_2= F B_2$, $A_2 A_3=B_2 E$. И так как $A_1 A_2= A_2 A_3$, то $F B_2=B_2 E$.
Треугольники $B_2 B_1 F$ и $B_2B_3E$ равны по второму признаку. У них $B_2F=B_2E$ по доказанному. Углы при вершине $B_2$ равны как вертикальные, а углы $B_2FB_1$ и $B_2EB_3$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных $A_1B_1$ и $A_3B_3$ и секущей $EF$.
Из равенства треугольников следует равенство сторон: $B_1B_2=B_2B_3$. Теорема доказана.

Замечание
В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же:

Теорема

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекаюющие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Теорема

Если две прямые пересечь тремя параллельными прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой.

Дано: прямые $AB$ и $CD$ пересечены прямыми $FE||KL||MN$.
Требуется доказать: $EL:LN=FK:KM$.

Доказательство:

Пусть длина отрезка $FK$ равна $m$, длина отрезка $KM$ равна $n$ (на рис. $m=3$, $n=5$ единицам длины, которыми измерены отрезки). Из точек деления отрезков $FK$ и $KM$ на равные части проведем прямые, параллельные прямым $FE$, $KL$ и $MN$. Отрезок $EN$ также разделится на равные части, причем в отрезке $EL$ будет $m$, а в отрезке $LN$ будет $n$ равных отрезков. Если один такой отрезок принять за единицу измерения отрезков $EL$ и $LN$, то длина $EL$ будет равна числу $m$, а длина $LN=n$. Тогда отношение отрезков будет равно: $EL:LN=\frac{m}{n}$. Но отношение $FK$ и $KM$ такое же: $FK:KM=\frac{m}{n}$. Итак, эти отношения равны $EL:LN=FK:KM$, т. е. отрезки $EL$, $LN$, $FK$ и $KM$ пропорциональны.

Пропорциональными будут еще и такие отрезки:
1) $FK$, $FM$, $EL$ и $EN$, так как $FK:FM=\frac{3}{8}$ поэтому $FK:FM=EL:EN$;

2) $FM$, $KM$, $EN$ и $LN$, так как $FM:KM=EN:LN=\frac{8}{5}$.

Следствие

Пропорциональные отрезки на сторонах угла, пересеченных параллельными прямыми, можно брать от вершины.

Доказательство:

Проведем $FQ || EN$. Тогда $FP=EL$ и $PQ = LN$. По теореме $FK:KM=EL:LN$; заменим $EL$ и $LN$ и получим: $FK:KM=FP:PQ$.
Аналогично получим пропорцию $FK:FM = FP:FQ$ и др.

Задача

Разделить данный отрезок $MN$ на части, пропорциональные данным отрезкам $l$, $m$, и $n$.

Построение

Из одного конца ($M$) данного отрезка $MN$ проведем произвольный луч $MK$, на котором от точки $M$ отложим последовательно отрезки, равные данным отрезкам: $MA=l$, $AB=m$, $BC=n$. Соединим конец $C$ последнего из этих отрезков с другим концом $N$ данного отрезка и построим через точки $B$ и $A$ прямые $BF$ и $AD$, параллельные прямой $CN$. Отрезки $MD$, $DF$ и $FN$ — искомые.

Доказательство:

$MD+DF+FN=MN$. Кроме того, $\frac{MD}{l}=\frac{DF}{m}=\frac{FN}{n}$ на основании следствия из доказанной теоремы, так как прямые $AD$, $BF$ и $CN$ параллельны (по построению). Итак, отрезки $MD$, $DF$ и $FN$ удовлетворяют всем требованиям задачи и являются искомыми.
Очевидно, что задача всегда имеет решение, причем единственное (не принимая в расчет порядок расположения отрезков такой же длины на отрезке $MN$).
Способ решения будет тот же, если данных отрезков будет не три, а другое количество, причем вместо отрезков могут быть заданы и числа.