Теоретические материалы: Подобие. Подобные треугольники

Планиметрия

6. Подобие фигур

6.3. Подобие. Подобные треугольники

Определение 1

Две фигуры $F$ и $F_1$ называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т.е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз.

(Точки можно двигать мышкой на рисунке)

Если фигуры $F$ и $F_1$ подобны, то пишется $F \sim F_1$ .
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны и соответствующие отрезки пропорциональны.

Определение 2

Два треугольника называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

В записи подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ предполагается, что вершины, совмещенные преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т.е. $A$ переходит в $A_1$ , $B$ в $B_1$ . $C$ в $C_1$ .

У подобных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
$\angle A=\angle A_1$ , $\angle B=\angle B_1$ , $\angle C=\angle C_1$
и
$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$ .

Соответствующие, или сходственные, стороны в подобных треугольниках лежат против равных углов.

Лемма

Всякая прямая, параллельная одной из сторон треугольника, образует со сторонами противолежащего угла треугольник, подобный первому.

Дано: $\triangle ABC$ , $MN || AC$ .
Требуется доказать: $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ .

Доказательство

$\angle 1 = \angle A$ , $\angle 2 = \angle C$ , $\angle B$ — общий, т. е. углы треугольников $ABC$ и $MBN$ соответственно равны.
Параллельные $MN$ и $AC$ отсекают на сторонах угла $ABC$ пропорциональные отрезки: $\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}$ . Надо еще доказать, что этим отношениям равно и отношение третьей пары сходственных сторон: $\frac{MN}{AC}$ . Проведем $NL || BA$ и на сторонах угла $BCA$ получим пропорциональные отрезки: $\frac{BN}{BC}=\frac{AL}{AC}$ . $AL$ заменим противоположной стороной $MN$ параллелограмма: $\frac{BN}{BC}=\frac{MN}{AC}$ . Эта пропорция и другая полученная пропорция ( $\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}$ ) имеют по одному равному отношению ( $\frac{BN}{BC}$ ), поэтому равны и все три отношения: $\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}=\frac{MN}{AC}$ .
Следовательно, $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ .

Лемма дает один из наиболее удобных способов построения треугольников, подобных данному, и доказывает существование подобных треугольников.

Определение 3

Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия ( $k$ ).

Если взять $\frac{AB}{A_1B_1}$ , то $k=2$ ; если же взять $\frac{B_1C_1}{BC}$ , то $k=\frac{1}{2}$ . Однако если дан только $\triangle ABC$ , а подобный ему $\triangle A_1B_1C_1$ нужно построить, то $k=\frac{1}{2}$ (но не 2), потому что каждую сторону данного треугольника $ABC$ нужно умножить на $\frac{1}{2}$ , чтобы получить стороны искомого $\triangle A_1B_1C_1$ . Если же дан $\triangle A_1B_1C_1$ и будем строить подобный $\triangle ABC$ , то $k = 2$ .