Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

6. Подобие фигур

6.4. Признаки подобия треугольников

Теорема 1 (первый признак)

Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

(Точки можно двигать мышкой на рисунке)

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$.
Требуется доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

Отложим $BK=B_1A_1$ и проведем $KL||AC$; $\triangle KBL \sim \triangle ABC$ (по лемме). По стороне и двум углам $\triangle A_1B_1C_1=\triangle KBL$ ($B_1A_1=BK$, $\angle B_1=\angle B$, $\angle A_1=\angle A$ по условию и $\angle K=\angle A$ как соответственные при параллельных прямых $KL$ и $AC$ и секущей $AB$, поэтому $\angle A_1 = \angle K$). Отсюда $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ $\fbox{\times}$.

Теорема 2 (второй признак)

Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, лежащие между ними, равны.

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, $\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$, $\angle B =\angle B_1$
Требуется доказать : $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$.

Доказательство:

Отложим $BK=B_1A_1$ и проведем $KL||AC$. $\triangle KBL \sim \triangle ABC$ (по лемме), отсюда $\frac{AB}{BC}=\frac{KB}{BL}$. В этой и данной пропорции левые отношения равны, поэтому равны и правые их отношения:
$\frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{KB}{BL}$. Но $KB= A_1B_1$, поэтому $BL = B_1C_1$. $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle KBL$ (no двум сторонам: $BK=B_1A_1$ и $BL=B_1C_1$ и углу между ними: $\angle B =\angle B_1$). Следовательно, $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ $\fbox{\times}$.

Теорема 3 (третий признак)

Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ , $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$
Требуется доказать : $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$.

Доказательство:

Прием доказательства такой же: $BK=B_1A_1$, $KL||AC$, $\triangle KBL \sim \triangle ABC$, отсюда $\frac{AB}{KB}=\frac{BC}{BL}=\frac{AC}{KL}$. Докажем, что $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle KBL$. Из пропорций $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$ и $\frac{AK}{KB}=\frac{BC}{BL}$ получаем: $B_1C_1=BL$. Из пропорций $\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$ и $\frac{BC}{BL}=\frac{AC}{KL}$ выводим, что $A_1C_1=KL$. $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle KBL$ (по трем сторонам). Следовательно, $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ $\fbox{\times}$.

Сформулируем признаки подобия прямоугольных треугольников.

Следствие

Два прямоугольных треугольника подобны:
1) если они содержат по равному острому углу;
2) если катеты одного пропорциональны катетам другого;
3) если гипотенуза и катет одного пропорциональны гипотенузе и катету другого.

Доказательство:

Два первых признака сразу следуют соответственно из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует из второго признака и теоремы Пифагора.

Следствие доказано