Планиметрия

6. Подобие фигур

6.5. Подобные многоугольники. Подобное преобразование многоугольников

Многоугольники с одинаковым числом сторон называют одноименными многоугольниками.

Определение

Два одноименных многоугольника называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Сходственные (соответствующие) стороны подобных многоугольников соединяют вершины соответственно равных углов.
Подобные многоугольники действительно существуют.

Задача

Построить многоугольник, подобный данному многоугольнику ABCDE, такой, чтобы сторона, сходственная стороне AB, была равна a.

Построение:

Отложим на AB сходственную ей сторону искомого многоугольника AB^\prime =a и через B^\prime проведем B^\prime C^\prime || CD до пересечения с диагональю AC. Из C^\prime проведем CD^\prime || CD и т. д. Построенный многоугольник AB^\prime C^\prime D^\prime E^\prime подобен многоугольнику ABCDE.



Доказательство:

Надо доказать, что для этих двух многоугольников выполняются оба условия, содержащиеся в определении подобных многоугольников. \angle BAE — общий, \angle AB^\prime C^\prime =\angle B и \angle AE^\prime D^\prime =\angle E; \angle B^\prime C^\prime D^\prime =\angle BCD (как состоящие из соответственно равных частей: \angle 1=\angle 2 и \angle 3=\angle 4), \angle C^\prime D^\prime E^\prime=\angle CDE. Следовательно, соответствующие углы многоугольника равны.
Треугольники попарно подобны (по лемме): \triangle AB^\prime C^\prime \sim \triangle ABC, \triangle AC^\prime D^\prime \sim \triangle ACD и т. д. \frac{AB^\prime}{AB}=\frac{B^\prime C^\prime}{BC}=\frac{AC^\prime}{AC}; \frac{AC^\prime}{AC}=\frac{C^\prime D^\prime}{CD}= \frac{AD^\prime}{AD}; \frac{A D^\prime}{AD}=\frac{D^\prime E^\prime}{DE}=\frac{AE^\prime}{AE}. Среди этих девяти отношений, которые все равны между собой, выберем нужные нам: \frac{AB^\prime}{AB}=\frac{B^\prime C^\prime}{BC}=\frac{C^\prime D^\prime}{CD}=\frac{D^\prime E^\prime}{DE}=\frac{AE^\prime}{AE}. Следовательно, сходственные стороны данного и построенного многоугольников пропорциональны. Итак, согласно определению, AB^\prime C^\prime D^\prime E^\prime \sim ABCDE.
Задача всегда имеет решение, притом единственное. Если a>AB, то данный многоугольник окажется внутри искомого.

Определения коэффициента подобия и подобного преобразования, которые в п. 3 даны для треугольников, распространяются и на многоугольники. В рассмотренной задаче и было выполнено подобное преобразование данного многоугольника ABCDE при коэффициенте подобия, заданном отношением (\frac{a}{AB}) пары сходственных сторон. Коэффициент подобия можно задать и числом.
При решении задач на построение иногда приходится применять метод подобия.
Между свойствами подобных многоугольников и подобных треугольников имеется существенное различие.

Теорема

Подобные многоугольники можно разбить на одинаковое число подобных треугольников, расположенных в одном и том же порядке.