Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

6. Подобие фигур

6.7. Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Когда говорят о среднем пропорциональном отрезке $l$ между двумя данными отрезками $m$ и $n$, то имеют в виду следующее соотношение между их длинами (числами) : $l=\sqr{m n}$ или $l^2 = m n$.

Теоремы

Если в прямоугольном треугольнике опущена высота на гипотенузу, то:
1) высота является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу;
2) каждый из катетов есть среднее пропорциональное между всей гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Дано : $\triangle ACB$, $\angle ACB=90^\circ$, $CD\bot AB$.
Требуется доказать:

1) $CD^2=AD\cdot DB$;

2) $AC^2=AB\cdot AD$; $BC^2=AB\cdot DB$.

Доказательство:

1) $\triangle ACD \sim \triangle BDC$, так как у них имеется по прямому углу и $\angle CAD=\angle BCD$ (углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Катет $BD$ в $\triangle BDC$ сходственен катету $CD$ в $\triangle ACD$ (лежат против равных углов) и другие катеты $CD$ и $AD$ этих треугольников также сходственны. В подобных треугольниках отношения сходственных сторон равны:
$\frac{BD}{CD}=\frac{CD}{AD}$, $CD^2=AD\cdot BD$.
2) $\triangle ACB \sim \triangle ACD$ (они прямоугольные и $\angle A$ общий). Сходственны их гипотенузы $AB$ и $AC$, а также катеты, прилежащие к общему углу, $AC$ и $AD$:
$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$; $AC^2=AB\cdot AD$.
Аналогично рассматриваем подобные треугольники $ACB$ и $BDC$, из которых получаем, что $CB^2=AB\cdot BD$ $\boxtimes$.