Теоретические материалы: Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника

Теоретические материалы

Подобие фигур. Ресурс разработан при участии студента 3 курса 2010-11 уч. года мехмата БГУ Турчиняка Александра.

Планиметрия

6. Подобие фигур

6.6. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника

Теорема

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Дано: $\triangle ABC$ , $BD$ — биссектриса угла $ABC$ .
Требуется доказать: $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$ .

Доказательство:

Проведем $CE || BD$ до пересечения с продолжением стороны $AB$ . Стороны угла $EAC$ пересечены параллельными прямыми. Составим пропорцию: $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BE}$ . Сравнивая эту пропорцию с той, которую нужно доказать, замечаем, что они отличаются только отрезками $BE$ и $BC$ . Рассмотрим эти отрезки. Они входят в $\triangle CBE$ , в котором $\angle E =\angle 1$ (как соответственные при $EC||BD$ и секущей $AE$ ) и $\angle 3=\angle 2$ . Но $\angle 1 =\angle 2$ ( $BD$ — биссектриса), отсюда $\angle E=\angle 3$ . Следовательно, $BE=BC$ . Заменим в полученной пропорции $BE$ на $BC$ : $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$ $\boxtimes$ .