Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

6. Подобие фигур

6.8. Теорема Пифагора

Доказанные в предыдущем пункте теоремы выражают метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. С их помощью доказываются теорема Пифагора и другие важные теоремы и зависимости между длинами сторон и других отрезков в треугольнике.

Теорема

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: $\triangle ACB$ — прямоугольный, $a$ и $b$ — длины его катетов, $c$ — длина гипотенузы.
Требуется доказать: $c^2=a^2+b^2$.

Доказательство:

Обозначим длину проекции $BD$ катета $a$ через $a^\prime$, а длину проекции $AD$ катета $b$ через $b^\prime$. Согласно теореме, доказанной в предыдущем пункте, $a^2=c\cdot a^\prime$ и $b^2=c\cdot b^\prime$. Сложив равенства, получим:
$a^2+b^2=c a^\prime +c b^\prime$, $a^2+b^2=c(a^\prime +b^\prime)$.
Но $a^\prime +b^\prime=c$. Следовательно,
$a^2+b^2=c\cdot c$, $a^2+b^2=c^2$ $\boxtimes$.