Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

6. Подобие фигур

6.9. Квадрат любой стороны треугольника

Из теоремы Пифагора получаем, чему равен квадрат любого катета. Остается рассмотреть теоремы о квадрате стороны, лежащей против острого, а также тупого угла в косоугольном треугольнике.

Теорема 1

Квадрат стороны ($a$) треугольника, лежащей против острого угла ($A$), равен сумме квадратов двух других сторон ($b$ и $c$) без удвоенного произведения одной из этих сторон ($c$) на проекцию ($b_c$) на нее другой стороны ($b$).

Дано: $\triangle ACB$ со сторонами $a$, $b$, $c$; $\angle A$; $CD\bot AB$; $AD=b_c$.
Требуется доказать: $a^2=b^2+c^2-2cb_c$.

Доказательство:

По теореме Пифагора $a^2=CD^2+BD^2$. Заменим $CD$ и $BD$ отрезками, о которых говорится в теореме: $CD^2=b^2-b_c^2$ (по теореме Пифагора); $BD = c-b_c$. Тогда
$a^2=b^2-b_c^2+(c-b_c)^2=b^2-b_c^2+c^2-2cb_c+b_c^2=b^2+c^2-2cb_c$.
Поскольку на угол $C$ не накладывали при доказательстве никаких ограничений, то этот угол может быть любой, в том числе, тупой или прямой. Следовательно, теорема верна для стороны, лежащей против острого угла в любом треугольнике. $\boxtimes$

Теорема 2

Квадрат стороны ($a$) треугольника, лежащей против тупого угла ($A$), равен сумме квадратов двух других его сторон плюс удвоенное произведение одной из этих сторон ($c$) на проекцию ($b_c$) на ее продолжениe другой стороны.

Дано: $\triangle ABC$ со сторонами $a$, $b$, $c$; $\angle A>90^\circ$; $CD\bot AB$; $AD=b_c$.
Требуется доказать: $a^2=b^2+c^2+2cb_c$.

Доказательство:

Из прямоугольного треугольника $BCD$ находим $a^2=CD^2+BD^2$. Но $CD^2=b^2-b_c^2$ (по теореме Пифагора) и $BD = c+b_c$, значит,
$a^2=b^2-b_c^2+(c+b_c)^2=b^2-b_c^2+c^2+2cb_c+b_c^2=b^2+c^2+2cb_c$ $\boxtimes$.

Верны и следующие обратные теоремы:

Если квадрат стороны ($a$) треугольника:
1) меньше суммы квадратов двух других сторон, то противолежащий угол ($A$) острый;
2) больше суммы квадратов двух других сторон, то угол ($A$) тупой;
3) равен сумме квадратов двух других сторон, то угол ($A$) прямой.