Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

6. Подобие фигур

6.10. Формула для вычисления площади треугольника по трем его сторонам

Доказанные в предыдущем пункте теоремы дают возможность выразить площадь треугольника через три его стороны:
$S_\triangle=\sqr {p(p-a)(p-b)(p-c)}$,
где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника и $p$ — его полупериметр. Эту формулу называют формулой Герона. Доказательство ее будем вести одновременно для остроугольного и тупоугольного треугольников.

$S_\triangle=0,5\cdot CD$, где $CD\bot AB$. Но $CD^2=b^2-b_c^2$. Из формул
$a^2=b^2+c^2-2cb_c$ и $a^2=b^2+c^2+2cb_c$
получаем:
$b_c=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}$ и $b_c=\frac{b^2+c^2-a^2}{-2c}$.
Так как выражения для $b_c$ отличаются только знаком, то квадраты их будут равны и для обоих случаев получим:
$CD^2=b^2-b_c^2=b^2-\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4c^2}=\frac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{4c^2}$;
$CD=\frac{\sqr{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}}{2c}$;
$S_\triangle=\frac{1}{2}c\frac{\sqr{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}}{2c}=\frac{1}{4}\sqr{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}$.
Итак, площадь треугольника выражена через его стороны, но подкоренному выражению можно придать более удобный вид. Преобразуем это выражение по формуле разности квадратов:
$(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2=(2bc-b^2-c^2+a^2)(2bc+b^2+c^2-a^2)=$
$=[a^2-(b^2-2bc+c^2)][(b^2+2bc+c^2)-a^2]=[a^2-(b-c)^2][(b+c)^2-a^2]=$
$=(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)$.
Обозначим периметр $a+b+c=2p$. Тогда получим:
$(a-b+c)+b-b=(a+b+c)-2b=2p-2b=2(p-b)$;
$(a+b-c)+c-c=2(p-c)$;
$4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)=2^4p(p-a)(p-b)(p-c)$;
$S_\triangle=\frac{1}{4}\sqr{2^4p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqr{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.