Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

6. Подобие фигур

6.11. Отношение площадей подобных многоугольников

Теорема

Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

1) Докажем теорему сначала для треугольников.

Дано : $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime \sim \triangle ABC$, $A^\prime B^\prime$ и $AB$ — сходственные стороны.
Требуется доказать: $\frac{S_{\triangle A^\prime B^\prime C^\prime}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{(A^\prime B^\prime)^2}{(AB)^2}$.

Доказательство:

Проведем к сходственным сторонам $A^\prime B^\prime$ и $AB$ сходственные высоты $C^\prime D^\prime$ и $CD$. Тогда площадь треугольника $A^\prime B^\prime C^\prime$ равна $0,5A^\prime B^\prime\cdot C^\prime D^\prime$ и площадь $\triangle ABC=0,5AB\cdot CD$. Найдем отношение этих площадей:

$\frac{0,5A^\prime B^\prime\cdot C^\prime D^\prime}{0,5AB\cdot CD}=\frac{A^\prime B^\prime}{AB}\cdot \frac{C^\prime D^\prime}{CD}$.

Но $\frac{C^\prime D^\prime}{CD}=\frac{A^\prime B^\prime}{AB}$. Подставим вместо $\frac{C^\prime D^\prime}{CD}$ равное ему отношение и получим:

$\frac{S_{\triangle A^\prime B^\prime C^\prime}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{A^\prime B^\prime}{AB}\cdot\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{(A^\prime B^\prime)^2}{(AB)^2}$.

2) Докажем теперь эту теорему для многоугольников.

Дано: $ABCDE\sim A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime E^\prime$, стороны $AE$ и $A^\prime E^\prime$ — сходственные.
Требуется доказать: $\frac{S_{ABCDE}}{S_{A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime E^\prime}}=\frac{(AE)^2}{(A^\prime E^\prime)^2}$.

Доказательство:

$\triangle BCD \sim \triangle B^\prime C^\prime D^\prime$, $\triangle BDE\sim \triangle B^\prime D^\prime E^\prime$, $\triangle BEA\sim \triangle B^\prime E^\prime A^\prime$. Площади этих треугольников обозначим через $S$ и $S^\prime$, $Q$ и $Q^\prime$, $T$ и $T^\prime$. Тогда запишем:

$\frac{S}{S^\prime}=\frac{(BC)^2}{(B^\prime C^\prime)^2}$, $\frac{Q}{Q^\prime}=\frac{(DE)^2}{(D^\prime E^\prime)^2}$, $\frac{T}{T^\prime}=\frac{(AE)^2}{(A^\prime E^\prime)^2}$

(по этой теореме, уже доказанной для треугольников). Но $\frac{BC}{B^\prime C^\prime}=\frac{DE}{D^\prime E^\prime}=\frac{AE}{A^\prime E^\prime}$ (у подобных многоугольников сходственные стороны пропорциональны). Квадраты равных отношений равны:

$\frac{(BC)^2}{(B^\prime C^\prime)^2}=\frac{(DE)^2}{(D^\prime E^\prime)^2}=\frac{(AE)^2}{(A^\prime E^\prime)^2}$,

а из этого следует равенство отношений площадей:

$\frac{S}{S^\prime}=\frac{Q}{Q^\prime}=\frac{T}{T^\prime}=\frac{(BC)^2}{(B^\prime C^\prime)^2}$.

По свойству равных отношений

$\frac{S+Q+T}{S^\prime+Q^\prime+T^\prime}=\frac{(BC)^2}{(B^\prime C^\prime)^2}$ или $\frac{S_{ABCDE}}{S_{A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime E^\prime}}=\frac{(BC)^2}{(B^\prime C^\prime)^2}$.