Стереометрия

9. Прямые и плоскости в пространстве

9.1. Пространственные фигуры и их изображение на плоскости. Скрещивающиеся прямые. Основные свойства плоскости

Определение

Фигура, не все точки которой лежат в одной плоскости, называется пространственной.

К пространственным фигурам, кроме геометрических тел, относятся двугранные и многогранные углы и другие совокупност точек, линий, поверхностей. Основные элементы, из которых состоят пространственные фигуры, это точки, прямые, плоскости. Любую фигуру можно свободно перемещать в пространстве, не изменяя ее размеров и формы.

Определение

Две фигуры называются равными, если их можно совместить всеми их точками.

Стереометрия изучает свойства пространственных фигур. Две прямые в пространстве могут лежать в одной плоскости, и тогда они будут либо пересекающимися, либо параллельными.

Определение

Две прямые называются скрещивающимися, если одна из них не лежит ни в одной из бесконечного множества плоскостей, проходящих через другую прямую.

Изображение (чертёж или рисунок) пространственной фигуры на плоскости выполняется по правилам параллельного проектирования, которые нужно знать и при чтении чертежа.

а) Если прямые в пространстве параллельны, то и их проекции на чертеже параллельны или совпадают; если прямые на чертеже параллельны, то соответствующие им прямые в пространственной фигуре являются параллельными.

б) Если прямые на чертеже пересекаются, то соответствующие им прямые в пространстве пересекаются либо скрещиваются. Путем перехода от плоского чертежа пространственной фигуры к ее модели (материальной или воображаемой) необходимо научиться уверенно различать пересекающиеся и скрещивающиеся прямые. Без этого невозможно изучать стереометрию.

в) Отношение отрезков параллельных прямых (или одной прямой) в пространственной фигуре равно отношению соответствующих им отрезков на чертеже. Отсюда следует, что в одной группе параллельных отрезков при переходе от пространственной фигуры к чертежу каждый отрезок сокращается в одно число раз, а в другой группе параллельных отрезков — в другое (но постоянное для этой группы) число раз.

г) Углы пространственной фигуры на ее чертеже обычно изменяют свою величину, например прямой угол пространственной фигуры может быть изображен острым или тупым углом.

Невидимые линии пространственной фигуры на чертеже изображаются штриховыми линиями.

Основные свойства плоскости выражаются следующими математическими предложениями.

Аксиома 1

Если две точки прямой лежат на плоскости, то и все точки этой прямой лежат на плоскости.

Аксиома 2

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, притом только одну.

Аксиома 3

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, проходящую через эту точку, то есть пересекаются.

Следствие 1

Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести плоскость, притом только одну.

Следствие 2

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и только одну.

Следствие 3

Через две параллельные прямые можно провести плоскость, притом только одну.