Элементарная математика. Геометрия.

Стереометрия

Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве

9.2. Параллельность прямой и плоскости

Определение

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки.

Удобно пользоваться следующим признаком параллельности прямой и плоскости.

Теорема 1

Если прямая $m$, не лежащая в плоскости $\alpha$, параллельна какой-нибудь прямой $n$, лежащей в этой плоскости, то первая прямая $m$ параллельна данной плоскости $\alpha$.

Дано: $n$ $\subset$ $\alpha$, $m$ $\parallel$ $n$. Требуется доказать: $m$ $\parallel$ $\alpha$.

Доказательство:

Проведём плоскость $\beta$ через прямые $m$ и $n$. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $n$. Если бы прямая $m$ пересекала плоскость $\alpha$, то она пересекала бы и прямую $n$. Но $m$ $\parallel$ $n$, поэтому $m$ и $\alpha$ не пересекаются.

Теорема 2

Если плоскость $\beta$ проходит через прямую $m$, параллельную другой плоскости $\alpha$, и пересекает эту плоскость,то линия пересечения $n$ параллельна первой прямой $m$.

Дано: $m$ $\parallel$ $\alpha$, $m$ $\subset$ $\beta$, $n$ $\subset$ $\alpha$. Требуется доказать: $m$ $\parallel$ $n$.

Доказательство(от противного):

Допустим,что прямая $m$ пересекает $n$. Но $n$ $\subset$ $\alpha$, тогда $m$ пересекает $\alpha$, что неверно, так как по условию $m$ $\parallel$ $\alpha$. Допущение неправильное, поэтому $m$ не пересекает $n$. Так как при этом $m$ $\subset$ $\beta$, $n$ $\subset$ $\beta$, то $m$ $\parallel$ $n$.

Следствия

$1.$ Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна линии их пересечения.

$2.$ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.